[BZOJ3312][USACO]不找零(状压DP)

Description

约翰带着 N 头奶牛在超市买东西，现在他们正在排队付钱，排在第 i 个位置的奶牛需要支付 Ci元。今天说好所有东西都是约翰请客的，但直到付账的时候，约翰才意识到自己没带钱，身上只有 K张消费卡，第 i 张卡里有 Vi 元余额。

问题是，这些消费卡都是一次性的，它们可以被收银机读取，但如果卡一旦离开了收银机，卡里的余额就会归零，而且超市也不负责找零！奶牛的队伍很长，不可能再调整她们的位置了，所以一张卡只能支付一段连在一起的账单。而且，一张账单只能用一张消费卡支付，超市的系统不接受用两张或以上的卡支付一笔账单。

约翰的问题就是按照什么样的顺序来使用这些消费卡，才能让他能为所有的奶牛买单，而且使得剩余的消费卡的余额之和最大呢？

Input Format

• 第一行：两个整数 K 和 N ，1 ≤ K ≤ 16, 1 ≤ N ≤ 10^5

• 第二行到第 K + 1 行：第 i + 1 行有一个整数 Vi，1 ≤ Vi ≤ 10^9

• 第 K + 2 行到第 K + N + 1 行：第 i + K + 1 行有一个整数 Ci，1 ≤ Ci ≤ 10^4

Output Format

单个整数：表示约翰买完所有奶牛的单之后，最多还能剩多少余额，如果他带的卡根本没有办法支付所有的账单，输出 −1。

Solution

发现K范围小，考虑状压DP，设\(F[S]\)表示所以消费卡状态为S时可以到达最后面的奶牛编号，即前面的奶牛都付完，

在二进制下1表示用过了，0表示没有

那么\(F[S|2^{k-1}]=max\{Get(card(k),F[S]+1)\}\) ,

\(Get(s,pos)\) 表示可用金额为s, 从\(Cow_{pos}\) 可到达最远的奶牛坐标，

那么Get函数可以用前缀和+二分查找优化，否则会超时

这题挂了好几次，

1. 写了前缀和，后面忘记写二分查找
2. 没有用max！WA了，居然还过了好多点

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 100010
using namespace std;

int n, k, card[19], sum[N], cow[N], f[1 << 19], Ans;

inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-')f = -1; ch = getchar();}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
	return x * f;
}

inline int get(int k, int st) {
	int l = st, r = n, res;
	while (l <= r) {
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (sum[mid] - sum[st - 1] <= k)
			res = mid, l = mid + 1;
		else r = mid - 1;
	}
	return res;
}

inline int cnt(int S) {
	int r = 0;
	for (int i = 1; i <= k; ++i)
		if (!(S & (1 << (i - 1))))
			r += card[i];
	return r;
}

int main() {
	k = read(), n = read();
	for (int i = 1; i <= k; ++i) card[i] = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		cow[i] = read();
		sum[i] = sum[i - 1] + cow[i];
	}
	Ans = -1;
	for (int S = 0; S < (1 << k); ++S) {
		if (f[S] == n) continue;
		for (int i = 1; i <= k; ++i) {
			int T = (1 << (i - 1));
			if (S & T) continue;
			f[S | T] = max(f[S | T], get(card[i], f[S] + 1));
			if (f[S | T] == n)
				Ans = max(Ans, cnt(S | T));
		}
	}
	printf("%d\n", Ans);
	return 0;
}