[ACM] POJ 3233 Matrix Power Series （求矩阵A+A^2+A^3...+A^k，二分求和或者矩阵转化）

Matrix Power Series

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Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A² + A³ + … + A^k.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 10⁹) and m (m < 10⁴). Then follow n lines each containing n nonnegative
integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 4
0 1
1 1

Sample Output

1 2
2 3

Source

field=source&key=POJ+Monthly--2007.06.03" style="text-decoration:none">POJ Monthly--2007.06.03, Huang, Jinsong

解题思路：

第一种方法：

题意为给定矩阵A（以下代码中用ori表示)。以及k, mod ,求 A+A^2+A^3+......A^k    的和对mod取余。

一開始用循环k次，递推的做法，超时。

。。

看了解题报告，求和的时候要用到二分求和。

所求的和用s(k)表示。

当k为偶数时：

比方 k=6,那么  A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6=    A+A^2+A^3+   A^3*（A+A^2+A^3）

s(k)=s(k/2)+A^(n/2) * s(k/2) 即s(k)=(E+A^(n/2))*s(n/2)  （E为单位矩阵）

当k为奇数时：

s(k)=s(k-1)+A^k ,  那么k-1为偶数。能够依照上面的二分

PS：代码要写细致啊，否则一个小错误查半天.....计算两个矩阵相乘时ret.arr[i][j]+=a.arr[i][k]*b.arr[k][j]; 居然写成了ret.arr[i][j]+=a.arr[i][k]*a.arr[k][j]; T T

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std;
const int maxn=31;
int n,k,mod;

struct mat
{
    int arr[maxn][maxn];
    mat()
    {
        memset(arr,0,sizeof(arr));
    }
};

mat mul(mat a,mat b)
{
    mat ret;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int k=0;k<n;k++)
    {
        if(a.arr[i][k])
            for(int j=0;j<n;j++)
        {
            ret.arr[i][j]+=a.arr[i][k]*b.arr[k][j];
            if(ret.arr[i][j]>=mod)
                ret.arr[i][j]%=mod;
        }
    }
    return ret;
}

mat add(mat a,mat b)
{
    mat an;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            an.arr[i][j]=a.arr[i][j]+b.arr[i][j];
            if(an.arr[i][j]>=mod)
                an.arr[i][j]%=mod;
        }
    return an;
}

mat power(mat p,int k)
{
    if(k==1) return p;
    mat e;
    for(int i=0;i<n;i++)
        e.arr[i][i]=1;
    if(k==0) return e;
    while(k)
    {
        if(k&1)
            e=mul(p,e);
        p=mul(p,p);
        k>>=1;
    }
    return e;
}

void output(mat ans)
{
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
    {
        if(j==n-1)
            cout<<ans.arr[i][j]<<endl;
        else
            cout<<ans.arr[i][j]<<" ";
    }
}

mat  cal(mat ori,int k)
{
    if(k==1) return ori;
    if(k&1)
        return add(cal(ori,k-1),power(ori,k));//当k为奇数时，减1变为偶数 S(K)=S(K-1)+ori^K
    else
        return mul(add(power(ori,0),power(ori,k>>1)),cal(ori,k>>1));
        //当K为偶数时,S(K)=(1+ori^(K/2))*S(K/2)
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d%d",&n,&k,&mod)!=EOF)
    {
        mat ori,ans;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
        {
            scanf("%d",&ori.arr[i][j]);
            if(ori.arr[i][j]>=mod)
                ori.arr[i][j]%=mod;
        }
        ans=cal(ori,k);
        output(ans);
    }
    return 0;
}

另外一种方法：

解题思路转载自：http://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/05/28/3103336.html

分析：求a^1+..a^n这是矩阵乘法中关于等比矩阵的求法：

|A  E|

|0  E|

当中的A为m阶矩阵。E是单位矩阵，0是零矩阵。而我们要求的是：

A^1+A^2+..A^L。由等比矩阵的性质

|A  ,  1|                 |A^n , 1+A^1+A^2+....+A^(n-1)|

|0  ,  1| 的n次方等于|0     ,                   1                   |

所以我们仅仅须要将A矩阵扩大四倍，变成如上形式的矩阵B。然后开L+1次方就能够得到1+A^1+A^2+....+A^L。

因为多了一个1。所以最后得到的答案我们还要减去1。

同理我们把矩阵A变成B：

|A  E|

|0  E|

然后我们就是求B的n+1次幂之后得到的矩阵为|x1   x2|

|x3   x4|

右上角的矩阵x2减去单位矩阵E，得到就是要求的矩阵了。

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
const int maxn=62;
int n,k,mod;

struct mat
{
    int arr[maxn][maxn];
    mat()
    {
        memset(arr,0,sizeof(arr));
    }
};

mat mul(mat a,mat b)
{
    mat ans;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int k=0;k<n;k++)
    {
        if(a.arr[i][k])
            for(int j=0;j<n;j++)
        {
            ans.arr[i][j]+=a.arr[i][k]*b.arr[k][j];
            if(ans.arr[i][j]>=mod)
                ans.arr[i][j]%=mod;
        }
    }
    return ans;
}

mat power(mat p,int k)
{
    if(k==1) return p;
    mat e;
    for(int i=0;i<n;i++)
        e.arr[i][i]=1;
    if(k==0) return e;
    while(k)
    {
        if(k&1)
            e=mul(e,p);
        p=mul(p,p);
        k>>=1;
    }
    return e;
}

void output(mat ans)
{
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
    {
        if(i==j)
        {
            ans.arr[i][j+n]--;
            while(ans.arr[i][j+n]<0)
                ans.arr[i][j+n]+=mod;
        }
        if(j==n-1)
            cout<<ans.arr[i][j+n]<<endl;
        else
            cout<<ans.arr[i][j+n]<<" ";
    }
}

int main()
{
    while(cin>>n>>k>>mod)
    {
        mat ori,ans;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
        {
            cin>>ori.arr[i][j];
            if(i==j)
            {
                ori.arr[i][j+n]=1;
                ori.arr[i+n][j+n]=1;
            }
        }
        n*=2;
        ans=power(ori,k+1);
        n/=2;
        output(ans);
    }
    return 0;
}