[luoguP2766] 最长递增子序列问题（最大流）

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题解来自网络流24题：

【问题分析】

第一问时LIS，动态规划求解，第二问和第三问用网络最大流解决。

【建模方法】

首先动态规划求出F[i]，表示以第i位为开头的最长上升序列的长度，求出最长上升序列长度K。

1、把序列每位i拆成两个点<i.a>和<i.b>，从<i.a>到<i.b>连接一条容量为1的有向边。

2、建立附加源S和汇T，如果序列第i位有F[i]=K，从S到<i.a>连接一条容量为1的有向边。

3、如果F[i]=1，从<i.b>到T连接一条容量为1的有向边。

4、如果j>i且A[i] < A[j]且F[j]+1=F[i]，从<i.b>到<j.a>连接一条容量为1的有向边。

求网络最大流，就是第二问的结果。把边(<1.a>,<1.b>)(<N.a>,<N.b>)(S,<1.a>)(<N.b>,T)这四条边的容量修改为无穷大，再求一次网络最大流，就是第三问结果。

【建模分析】

上述建模方法是应用了一种分层图的思想，把图每个顶点i按照F[i]的不同分为了若干层，这样图中从S出发到T的任何一条路径都是一个满足条件的最长上升子序列。

由于序列中每个点要不可重复地取出，需要把每个点拆分成两个点。单位网络的最大流就是增广路的条数，所以最大流量就是第二问结果。

第三问特殊地要求x1和xn可以重复使用，只需取消这两个点相关边的流量限制，求网络最大流即可。

还有这个题题意有些问题，不是递增，是不递减。

——代码

 #include <queue>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #define N 2020
 #define M 3000001
 #define max(x, y) ((x) > (y) ? (x) : (y))
 #define min(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y))

 int n, ans, cnt, s, t, sum;
 int a[N], f[N];
 int head[N], to[M], val[M], next[M], dis[N], cur[N];

 inline int read()
 {
     int x = , f = ;
     char ch = getchar();
     for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = -;
     for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << ) + (x << ) + ch - '';
     return x * f;
 }

 inline void add(int x, int y, int z)
 {
     to[cnt] = y;
     val[cnt] = z;
     next[cnt] = head[x];
     head[x] = cnt++;
 }

 inline bool bfs()
 {
     int i, u, v;
     std::queue <int> q;
     memset(dis, -, sizeof(dis));
     q.push(s);
     dis[s] = ;
     while(!q.empty())
     {
         u = q.front(), q.pop();
         for(i = head[u]; i ^ -; i = next[i])
         {
             v = to[i];
             if(val[i] && dis[v] == -)
             {
                 dis[v] = dis[u] + ;
                 if(v == t) return ;
                 q.push(v);
             }
         }
     }
     return ;
 }

 inline int dfs(int u, int maxflow)
 {
     if(u == t) return maxflow;
     int i, v, d, ret = ;
     for(i = cur[u]; i ^ -; i = next[i])
     {
         v = to[i];
         if(val[i] && dis[v] == dis[u] + )
         {
             d = dfs(v, min(val[i], maxflow - ret));
             ret += d;
             cur[u] = i;
             val[i] -= d;
             val[i ^ ] += d;
             if(ret == maxflow) return ret;
         }
     }
     return ret;
 }

 inline void clear()
 {
     int i, j;
     sum = cnt = ;
     memset(head, -, sizeof(head));
     for(i = ; i <= n; i++)
     {
         add(i, i + n, ), add(i + n, i, );
         if(f[i] == )     add(s, i, ), add(i, s, );
         if(f[i] == ans) add(i + n, t, ), add(t, i + n, );
     }
     for(i = ; i <= n; i++)
         for(j = ; j < i; j++)
             if(a[j] <= a[i] && f[j] +  == f[i])
                 add(j + n, i, ), add(i, j + n, );
 }

 int main()
 {
     int i, j, x;
     n = read();
     s = , t = (n << ) + ;
     for(i = ; i <= n; i++)
     {
         a[i] = read();
         x = ;
         for(j = ; j < i; j++)
             if(a[j] <= a[i])
                 x = max(x, f[j]);
         f[i] = x + ;
         ans = max(ans, f[i]);
     }
     printf("%d\n", ans);
     clear();
     while(bfs())
     {
         for(i = s; i <= t; i++) cur[i] = head[i];
         sum += dfs(s, 1e9);
     }
     printf("%d\n", sum);
     clear();
     add(s, , 1e9), add(, s, );
     add(,  + n, 1e9), add( + n, , );
     if(f[n] == ans)
     {
         add(n << , t, 1e9), add(t, n << , );
         add(n, n << , 1e9), add(n << , n, );
     }
     while(bfs())
     {
         for(i = s; i <= t; i++) cur[i] = head[i];
         sum += dfs(s, 1e9);
     }
     printf("%d\n", sum);
     return ;
 }