BZOJ 1629 [Usaco2005 Nov]Cow Acrobats：贪心【局部证明】

题目链接：http://begin.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1332

题意：

　　有n头牛在“叠罗汉”。

　　第i头牛的体重为w[i]，力量为s[i]。

　　一头牛的压扁程度 = 它上面所有牛的体重之和 - s[i]

　　所有牛的总压扁程度 = 所有牛中最大的那个压扁程度

　　问你总压扁程度最小为多少。

题解：

　　贪心。

　　套路：

　　　　选取最小的一个单元——相邻的两头牛，进行贪心策略的局部证明。

　　贪心策略：

　　　　假设最左边为顶部，最右边为底部。

　　　　从左往右分别编号0...n-1。

　　　　考虑两头相邻的牛：交换i和i+1两头牛。

　　　　压扁程度（交换之前）：

　　　　　　i: a = sum - s[i]

　　　　　　i+1: b = sum + w[i] - s[i+1]

　　　　压扁程度（交换之后）：

　　　　　　i: a' = sum + w[i+1] - s[i]

　　　　　　i+1: b' = sum - s[i+1]

　　　　显然：在交换之前，b为两者最大值；交换之后，a'为两者最大值。

　　　　假设未交换时为最优状态，则交换后不可能更优。

　　　　所以有：b < a'

　　　　即：sum + w[i] - s[i+1] < sum + w[i+1] - s[i]

　　　　整理得：s[i+1] + w[i+1] > s[i] + w[i]

　　　　所以贪心策略为：w+s值越大，越放在底下。

AC Code:

 // before:
 // i: sum - s[i]
 // i+1: sum + w[i] - s[i+1]
 // after:
 // i+1: sum - s[i+1]
 // i: sum + w[i+1] - s[i]
 //
 // f1 < f4  +w[i+1]
 // f2 > f3  -w[i]
 // w[i] - s[i+1] < w[i+1] - s[i]
 // w[i+1] + s[i+1] > w[i] + s[i]
 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <algorithm>
 #define MAX_N 50005
 #define INF 10000000

 using namespace std;

 struct Cow
 {
     int w;
     int s;
     Cow(int _w,int _s)
     {
         w=_w;
         s=_s;
     }
     Cow(){}
     friend bool operator < (const Cow &a,const Cow &b)
     {
         return a.w+a.s<b.w+b.s;
     }
 };

 int n;
 Cow cow[MAX_N];

 int main()
 {
     cin>>n;
     for(int i=;i<n;i++)
     {
         cin>>cow[i].w>>cow[i].s;
     }
     sort(cow,cow+n);
     int sum=;
     int ans=-INF;
     for(int i=;i<n;i++)
     {
         ans=max(ans,sum-cow[i].s);
         sum+=cow[i].w;
     }
     cout<<ans<<endl;
 }