[HNOI2009] 有趣的数列——卡特兰数与杨表

[HNOI 2009]

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

(2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

(3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

分析：

当然，可以打表找规律。

但是，如果学习了杨表的话，很显然，这就是一个 $2 \times n$ 的标准杨表，使用勾子公式，答案为 $\frac{(2n)!}{(n+1)!\cdot n!} = \frac{C_{2n}^n}{n+1}$，这也就是卡特兰数。

卡特兰数的扩展问题

首先，我们来看一个最简单的问题：

我在学校门口卖奶茶，奶茶一元一杯。今天下午开门的时候，我发现找零的钱忘带了。
这时候来了 2n 个人，其中 n 个人身上只有一张一元钱，另外 n 个人身上只有一张两元钱。我就让他们排成一队，然后用这 n 个人的一元钱来找给付两元的人。当然，排队的时候得保证每次来一个付两元的人的时候都有的找。
假设所有拿一元的人和拿两元的人都没有分别，我现在想知道，他们有多少种排队方式？

易知，答案即第 n 个Catalan数。

再看如下的升级问题，

升级1: 条件同上，但这时候来的人数为 3n ，其中 n 个人只有一张一元钱，n 个只有一张两元钱， n 个只有一张三元钱（假设题设的每种面值的钞票均存在）。我仍然让他们排成一队，只要有付两元的就用一元找，付三元的就用两元找。同样得保证每当需要找钱时有对应的钱可以找。求他们有多少种排队方式？

以及最终问题：

升级2: 条件同上，但这时候来的人数为 mn，其中拥有面值为一元至 m 元的人均有 n 个。每当支付 k (1 < k <= m-1)元时用 k-1 面值的钞票去找零。求合法排队方式数。

答案其实就是 n 行 m 列的杨表的种数，由勾子公式

$$\frac{(nm)!}{\prod_{k=0}^{m-1} (n+k)!/k!}$$

参考链接：如何求解这道卡特兰数的扩展问题——知乎