【CF589 E】Another Filling the Grid

一个很套路的容斥裸题，这里记录一下scb 的切题过程

Description

　　有一个 \(n\times n\) 的矩阵，你需要往每格里填一个 \([1,k]\) 的整数，使得每一行、每一列的最小值都是 \(1\)。求方案数。

　　\(n\le 250\)

　　\(k\le 10^9\)

Solution

　　这题可以 \(O(n)\) 做……不知道这数据范围是什么鬼……

　　考虑消除掉一维影响后容斥。

　　预处理一个函数 \(f(i)\) 表示填满 \(i\times n\) 的网格，满足每一列填了至少一个 \(1\) 的方案数。

　　显然 \(f(0)=0\)，\(f(i) = (k^i - (k-1)^i)^n\)，\(k^i - (k-1)^i\) 表示任意填充一列的方案数 减去这一列没有 \(1\) 的方案数，那么这一列就至少有一个 \(1\) 咯。

　　下面所有统计的情况都是满足列限制的。我们考虑对行限制容斥，用总方案数减去不合法的方案数。

　　即

\(\begin{align} ans = &不对行作限制的方案数 - 第 1 行没有 1 的方案数 - 第 2 行没有 1 的方案数 - 第 3 行没有 1 的方案数 - \cdots \nonumber \\ &- 第 n 行没有 1 的方案数 + 第 1,2 行没有 1 的方案数 + 第 1,3 行没有 1 的方案数 +\cdots \nonumber \end{align}\)

　　即 \(ans = \sum\limits_{i=0}^n (-1)^i C_n^i (k-1)^{ni} f(n-i)\)

　　解释一下，就是钦定 \(i\) 行不能有 \(1\)（显然有 \(C_n^i\) 种钦定方案），然后填充其余 \(n-i\) 行的条件是每一列上都有 \(1\)。

　　\(O(n)\) 计算即可。

　　还有一道配套容斥题，但并不能公开。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 251
#define mod 1000000007
using namespace std;
inline int read(){
	int x=0; bool f=1; char c=getchar();
	for(;!isdigit(c); c=getchar()) if(c=='-') f=0;
	for(; isdigit(c); c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
	if(f) return x; return 0-x;
}
int n,k,f[N],fac[N],ifac[N],ans;
int Pow(int x, int y){
	int ret=1;
	while(y){
		if(y&1) ret=(ll)ret*x%mod;
		x=(ll)x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return ret;
}
inline int C(int n, int m){
	return (ll)fac[n] * ifac[m] % mod * ifac[n-m] % mod;
}
inline void upd(int &x, int y){
	x = (x+y) % mod;
}
int main(){
	n=read(), k=read();
	fac[0]=1;
	for(int i=1; i<=n; ++i){
		f[i] = Pow((Pow(k,i)-Pow(k-1,i)+mod)%mod, n),
		fac[i] = (ll)fac[i-1] * i % mod;
	}
	ifac[n] = Pow(fac[n], mod-2);
	for(int i=n-1; i>=0; --i) ifac[i] = (ll)ifac[i+1] * (i+1) % mod;
	for(int i=0; i<=n; ++i) upd(ans, ((i&1)?mod-1ll:1ll) * C(n,i) % mod * Pow(k-1,(ll)n*i) % mod * f[n-i] % mod);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}