[Usaco2010 Dec]Exercise 奶牛健美操

[Usaco2010 Dec]Exercise 奶牛健美操

题目

Farmer John为了保持奶牛们的健康，让可怜的奶牛们不停在牧场之间 的小路上奔跑。这些奶牛的路径集合可以被表示成一个点集和一些连接 两个顶点的双向路，使得每对点之间恰好有一条简单路径。简单的说来， 这些点的布局就是一棵树，且每条边等长，都为1。 对于给定的一个奶牛路径集合，精明的奶牛们会计算出任意点对路径的最大值， 我们称之为这个路径集合的直径。如果直径太大，奶牛们就会拒绝锻炼。 Farmer John把每个点标记为1..V (2 <= V <= 100,000)。为了获得更加短 的直径，他可以选择封锁一些已经存在的道路，这样就可以得到更多的路径集合， 从而减小一些路径集合的直径。 我们从一棵树开始，FJ可以选择封锁S (1 <= S <= V-1)条双向路，从而获得 S+1个路径集合。你要做的是计算出最佳的封锁方案，使得他得到的所有路径集合 直径的最大值尽可能小。 Farmer John告诉你所有V-1条双向道路，每条表述为：顶点A_i (1 <= A_i <= V) 和 B_i (1 <= B_i <= V; A_i!= B_i)连接。 我们来看看如下的例子：线性的路径集合(7个顶点的树) 1---2---3---4---5---6---7 如果FJ可以封锁两条道路，他可能的选择如下： 1---2 | 3---4 | 5---6---7 这样最长的直径是2，即是最优答案(当然不是唯一的)。

INPUT

第1行： 两个空格分隔的整数V和S * 第2...V行： 两个空格分隔的整数A_i和B_i

OUTPUT

第1行：一个整数，表示FJ可以获得的最大的直径。

SAMPLE

INPUT

7 2

6 7

3 4

6 5

1 2

3 2

4 5

OUTPUT

2

解题报告

二分答案$+$贪心验证，竟然放在$DP$专题里= =（可能是我造化不够）

首先我们可以看到题面中闪闪发光的一句话

最大值尽可能小

这东西一眼看上去就知道，二分差不多就是可行的了

我们可以二分该最小值，然后验证其是否合法

我们设$f[i]$表示以第$i$个节点为根的子树中，合法的最长直链的长度

合法：

即保证最长链长度不可大于二分的答案

直链：

指链两端点路径不跨过根节点的链

然后我们就可以用$f[i]$计算要砍去多少条边，从而判断当前二分出的答案的合法性

那么问题来了，如何计算$f[i]$

显然直接求$max(f[son])$是不可行的，因为这不保证合法，但我们想，当我们选出两条儿子所在的直链，发现当他们接在一起时长度过大，需要从中砍断的时候，会有这样的事情：

1. 砍较长链链顶的边最优
2. 砍完该边后，该链不再对父节点造成影响

第二点显然，砍完之后该链与父节点不再属于同一联通块内，故不会再影响

第一点也很显然（废话），如果我们砍较短链，或者不是链顶的边，那么最长直链可能还会与其他直链相接再次产生不合法链，需要多砍一次，所以砍较长链链顶的边是最优的

那么我们就可以处理了，将当前节点的所有$f[son]$从大到小排序，依次枚举，判断相邻的两条直链长度相接是否合法，假如合法，将$f[i]$赋值，否则继续枚举，并且记录砍掉的边的数目$++$

注意处理某些奇怪的边界问题

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 inline int read(){
     int sum();
     char ch(getchar());
     for(;ch<''||ch>'';ch=getchar());
     for(;ch>=''&&ch<='';sum=sum*+(ch^),ch=getchar());
     return sum;
 }
 struct edge{
     int e;
     edge *n;
 }a[],*pre[];
 int tot;
 inline void insert(int s,int e){
     a[++tot].e=e;
     a[tot].n=pre[s];
     pre[s]=&a[tot];
 }
 int n,m;
 int f[],fa[];
 int ans;
 int mid,num;
 int tmp[];
 inline bool cmp(int x,int y){
     return x>y;
 }
 inline void dfs(int u){
     bool flag(false);
     for(edge *i=pre[u];i;i=i->n){
         int e(i->e);
         if(e!=fa[u]){
             flag=true;
             fa[e]=u;
             dfs(e);
         }
     }
     if(!flag)
         return;
     tmp[]=;
     f[u]=;
     for(edge *i=pre[u];i;i=i->n){
         int e(i->e);
         if(e!=fa[u])
             tmp[++tmp[]]=f[e]+;
     }
     int size(tmp[]);
     sort(tmp+,tmp++size,cmp);
     tmp[size+]=;
     for(int i=;i<=size;++i){
         if(tmp[i]+tmp[i+]>mid)
             ++num;
         else{
             f[u]=tmp[i];
             break;
         }
     }
 }
 inline bool check(){
     num=;
     memset(f,,sizeof(f));
     dfs();
     if(num<=m)
         return true;
     return false;
 }
 inline void ef(int l,int r){
     while(l<=r){
         mid=(l+r)>>;
         if(check())
             r=mid-,ans=mid;
         else
             l=mid+;
     }
 }
 int main(){
     memset(pre,NULL,sizeof(pre));
     n=read(),m=read();
     for(int i=;i<n;++i){
         int x(read()),y(read());
         insert(x,y),insert(y,x);
     }
     ef(,n);
     printf("%d",ans);
 }