【learning】凸包
吐槽
计算几何这种东西qwq一开始真的觉得恶心qwq(主要是总觉得为啥画图那么直观的东西非要写一大堆式子来求qwq真的难受qwq)
但其实静下心来学习的话感觉还是很妙的ovo题目思考起来也十分好玩ovo
正题
学习凸包需要一点前置技能:极角,向量点积,向量叉积
1.极角
在平面上取一定点\(O\),从\(O\)引一条水平射线\(Ox\),规定方向自左至右,再选定一个长度单位并规定角旋转的正方向(通常取逆时针方向),这样就构成了一个极坐标系,其中\(O\)叫做极点,射线\(Ox\)叫做极轴
在极坐标系中,平面上任意一点到极点的连线和极轴的夹角叫做极角
2.向量点积
一般写作:\(\vec a \bullet \vec b\),几何定义为
\[
\vec a \bullet \vec b = |\vec a||\vec b|\cdot cos\theta
\]
其中\(\theta\)为两个向量的夹角,该定义只针对二维和三维(其他的。。暂时不需要用到所以就先不写了qwq),其实可以简单理解为第一个向量投影到第二个向量上的长度(就是作垂直啦其实),所以其实点积是个标量
特别的,如果是在二维平面中,两个向量\(\vec a = (x_1,y_1)\)和\(\vec b = (x_2,y_2)\)的点积可以表示为
\[
\vec a\bullet\vec b = x_1x_2 +y_1y_2
\]
点积满足交换律
3.向量叉积
一般写作:\(\vec a × \vec b\),定义为
\[
\vec a × \vec b= ab \cdot sin \theta
\]
其中\(\theta\)为两个向量的夹角,简单理解的话就是两个向量围成的平行四边形的面积(但是是有正负的)
与点积不同的是,叉积是个矢量,带方向的
在二维平面中,两个向量\(\vec a = (x_1,y_1)\)和\(\vec b = (x_2,y_2)\)的叉积可以表示为
\[
\vec a × \vec b = x_1y_2-x_2y_1
\]
叉积不满足交换律,交换后的结果方向与原来相反(其实就是多个负号)
点积和叉积的几何意义十分好用,在题目中的应用很广泛,用起来也是很灵活的(具体还是要看题目说啦qwq不然都是空话)
好的然后我们正式开始讲凸包qwq
graham算法
这个算法的思路十分简单粗暴,就是首先找到最下面最左边的那个点(先按照\(y\)排序有相同的再看\(x\)),然后把这个点定为极点,把剩下的点按照极角排序,极角相同就按照到极点的距离排,然后用一个栈记录凸包上的点,O(n)扫一遍,如果说当前的点在目前围成的凸包外,那么就说明栈顶的点应该在凸包内,一直退栈直到满足当前点在凸包上为止,再将当前点进栈,然后再看下一个点
最后栈中的就是所有凸包上面的点啦ovo
现在的问题就是怎么求极角以及判断当前点的位置
这里有一个非常好的结论,\(\vec a\)如果满足\(\vec a × \vec b > 0\),那么说明\(\vec b\)在\(\vec a\)的逆时针方向,反之就是在顺时针
那么极角其实我们可以直接用叉积来判断就好了,如果说两个向量的叉积\(>0\),那么前者的极角一定小于后者,如果等于0说明在同一条直线上,就用距离判断
同样的我们就可以快速判断一个点是否在凸包外了
(这里是逆时针扫的)我们记当前栈顶的点为\(s_0\),栈顶的下一个点为\(s_1\),当前点为\(x\)
画一下图就能发现,\(x\)在当前的凸包上当且仅当\(\overrightarrow{s_1x}\)在\(\overrightarrow{s_1s_0}\)的逆时针方向,也就是两个向量的叉积要大于0,这样就能快速判断\(x\)的位置了
然后就这么一路扫一路操作就能得到凸包啦ovo
如果说要分别求得上凸包和下凸包,那就一开始按照\(x\)排序相同再按照\(y\)排序,然后扫的时候用两个栈分别记录上下凸包,判断条件相反(一个是叉积<=0就退栈,一个是>=0就退栈)就ok了
值得注意的是,这里的等号不能去掉,否则遇到多个坐标相同的点会出问题
旋转卡壳
提到凸包就不能不提到这个算法啦
以经典的求凸包直径做例子,首先讲一下大体思路
首先可以发现,一个点与凸包中其他点的连线长度是一个单峰函数,所以如果要枚举的话一旦发现答案开始递减了就可以停止了,普通的暴力在枚举下一个点的答案的时候,会又从最靠近的那个点开始扫,但其实我们画个图观察一下会发现其实不用,只要把上一个点(记作\(x\))开始递减的那个点(记作\(i\)) 当做起点开始扫就可以了。原因的话是显然在\(i\)之前的那些点到\(x\)的距离会比到当前点的距离要长,所以根本就没有扫的必要了(只会直观证明qwq严格证明的话。。。不会qwq)
这样一来我们就可以线性处理出直径啦ovo
对于其他的问题,思路其实差不多,主要还是利用好单峰函数这个特点避免掉不必要的操作
动态加点
如果说是动态加点的话,维护起来差不多,一点小改动
将要加进来的点记作\(x\),我们先在当前的凸包上找到\(x\)前面和后面的两个点,形象理解就是能将\(x\)夹在中间的两个点(额。。其实实现起来用lower_bound就好了),然后从这里开始重新模拟一遍graham中退栈进栈的过程就好了
应用
除了各种奇妙几何题之外,凸包还有一个很大的用处就是优化,最典型的例子就是斜率优化
额不过这种东西的话。。好像还是要具体题目具体分析qwq反正总的应该就是转成点的形式然后乱搞就好了嗯qwq(好吧其实这种题目的重点应该都是推式子吧哈哈哈。。qwq)
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