[模板] k短路

简介

Dijkstra最短路+A*搜索.

先逆向求所有点到终点的最短路 \(dis[i]\).

定义估价函数 \(f[i] = d[i] + dis[i]\) , 其中 \(d[i]\) 表示当前起点到 \(i\) 点的路径长度, 则 \(f[i]\) 表示一条从 \(u\) 到 \(v\) 经过 \(i\) 点的路径长度.

与Dijkstra算法类似, 将 \(f[i]\) 放到堆中, 每次求出 \(f[i]\) 最小的节点 \(u\) , 维护相邻节点 \(v\) :

\[d[v] = d[u] + val(u,v)
\]

则

\[ f[v] = f[u] - dis[u] + dis[v] + val(u,v) $$.

当第 $k$ 次 $u$ 为终点, $f[u]$ 即为起点到终点的第 $k$ 短路.

### 代码
```
//the nth point is departure, 1st is destination

const int nsz=1050,msz=10050;
const ll ninf=1e16;
int n,m,k;
struct te{int t,pr,v;}edge[msz*2];
int hd[nsz],pe=1;
void adde(int f,int t,int v){edge[++pe]=(te){t,hd[f],v};hd[f]=pe;}
void addsg(int f,int t,int v){adde(f,t,v);adde(t,f,-1);}

ll dis[nsz],vi[nsz];
struct tnd{ll p,d;};
bool operator<(tnd l,tnd r){return l.d>r.d;}
priority_queue<tnd> pq;
void dij(int f){
rep(i,1,n)dis[i]=ninf;
dis[f]=0;
pq.push((tnd){f,0});
while(!pq.empty()){
int u=pq.top().p;pq.pop();
if(vi[u])continue;
for(int i=hd[u],v=edge[i].t;i;i=edge[i].pr,v=edge[i].t){
if(edge[i].v!=-1)continue;//inv edge
if(dis[v]>dis[u]+edge[i^1].v)dis[v]=dis[u]+edge[i^1].v,pq.push((tnd){v,dis[v]});
}
}
// rep(i,1,n)cout<<dis[i]<<'\n';
}
ll ans[nsz],pa=0;
void astar(){
if(dis[n]>=ninf)return;
pq.push((tnd){n,dis[n]});
while(!pq.empty()){
ll u=pq.top().p,d=pq.top().d;pq.pop();
if(u==1){
ans[++pa]=d;
if(pa==k)break;
continue;
}
for(int i=hd[u],v=edge[i].t;i;i=edge[i].pr,v=edge[i].t){
if(edge[i].v==-1)continue;
pq.push((tnd){v,d-dis[u]+dis[v]+edge[i].v});
}
}
}

//use
dij(1);
while(!pq.empty())pq.pop();
astar();
```\]