Lucas(卢卡斯)定理

公式

$$C_n^m\%p=C_{n/p}^{m/p}*C_{n\%p}^{m\%p}\%p~~(p为素数)$$

代码如下

typedef long long ll;
ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod)
{
	ll res = 1;
	while (n > 0)
	{
		if (n & 1)
			res = res * x % mod;
		x = x * x % mod;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}
ll comb(ll n, ll m, ll p)
{
	if (m > n)
		return 0;
	ll a = 1, b = 1;
	m = min(n - m, m);
	while(m)
	{
		a = (a * n--) % p;
		b = (b * m--) % p;
	}
	return a * mod_pow(b, p - 2, p) % p;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
	if (m == 0)
		return 1;
	return comb(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}

例题

HDU 3037

解析：m个相同的豆子，放到n个不同的树里，有多少种方法。有$C_{n+m}^m$种。具体详解请看下面的扩展中的插板法。

代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod)
{
	ll res = 1;
	while (n > 0)
	{
		if (n & 1)
			res = res * x % mod;
		x = x * x % mod;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}
ll comb(ll n, ll m, ll p)
{
	if (m > n)
		return 0;
	ll a = 1, b = 1;
	m = min(n - m, m);
	while(m)
	{
		a = (a * n--) % p;
		b = (b * m--) % p;
	}
	return a * mod_pow(b, p - 2, p) % p;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
	if (m == 0)
		return 1;
	return comb(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}
int main(int argc, char* argv[])
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	ll T, n, m, p;
	cin >> T;
	while (T--)
	{
		cin >> n >> m >> p;
		cout << Lucas(n + m, m, p) << endl;
	}
	return 0;
}

扩展

插板法

适用类型

一组相同的元素，分成若干不同的组，每组至少一个元素。

例题1

将8个相同的小球放到3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法。

解：8个盒子，有7个空，分到3个盒子，需要插2块板，$C_7^2=21$种。

对于不满足每组至少一个元素条件的，应该先转化为标准形式。

例题2

将8个相同的小球放到3个不同的盒子，每个盒子至少放两个球，一共有多少种方法。

解析：先往每一个盒子里放一个小球。转化为：5个相同的小球放到不同的盒子，每个盒子至少放1个小球，一共有多少种方法。$C_4^2=6$种。

例题3

将8个相同的小球放到3个不同的盒子，有多少种方法。

解析：我们先让每个盒子吐出1个球，使得每个盒子至少一个球，分球的时候再让盒子吃回去。转化为：11个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少一个，有多少种方法。$C_{10}^2=45$种。

例题4

$a+b+c=10$有多少组正整数解。

解析：转化为：10个相同的小球，放到不同的3个盒子中，每个盒子至少一个，有多少方法。$C_9^2=36$种。

例题5

$a+b+c=10$有多少组非负整数解。

解析：转化为：13个相同的小球，放到不同的3个盒子中，有多少方法。$C_{12}^2=66$种。

例题6

$a+b+c\leqslant 10$有多少组非负整数解。

解析1：转化为$a+b+c+d =10$，即10个相同的球，放到4个不同的盒子中，有多少方法。$C_{13}^3=286$种。

解析2：列举所有情况：$a+b+c=0(C_2^2)$，$a+b+c=1(C_3^2)$，$\cdots$，$a+b+c=10(C_{12}^2)$，$\sum\limits_{i=2}^{12}C_i^2=C_{13}^3=286$种。

注：$\sum\limits_{i=m}^nC_i^m=C_{n+1}^{m+1}$。

杨辉三角性质之一：斜线上数字的和等于其向左（从左上方到右下方的斜线）或向右拐弯（从右上方到左下方的斜线），拐角上的数字。