问题 C: 「Usaco2010 Dec」奶牛健美操O(∩

题目描述

Farmer John为了保持奶牛们的健康，让可怜的奶牛们不停在牧场之间的小路上奔跑。这些奶牛的路径集合可以被表示成一个点集和一些连接两个顶点的双向路，使得每对点之间恰好有一条简单路径。
简单的说来，这些点的布局就是一棵树，且每条边等长，都为1。对于给定的一个奶牛路径集合，精明的奶牛们会计算出任意点对路径的最大值，我们称之为这个路径集合的直径。如果直径太大，奶牛们就会拒绝锻炼。 Farmer John把每个点标记为1..V (2 <= V <= 100,000)。为了获得更加短的直径，他可以选择封锁一些已经存在的道路，这样就可以得到更多的路径集合，从而减小一些路径集合的直径。我们从一棵树开始，FJ可以选择封锁S (1 <= S <= V-1)条双向路，从而获得 S+1个路径集合。你要做的是计算出最佳的封锁方案，使得他得到的所有路径集合直径的最大值尽可能小。
Farmer John告诉你所有V-1条双向道路，每条表述为：顶点A_i (1 <= A_i <= V) 和 B_i (1 <= B_i <= V; A_i!= B_i)连接。
我们来看看如下的例子：线性的路径集合(7个顶点的树) 1---2---3---4---5---6---7 如果FJ可以封锁两条道路，他可能的选择如下： 1---2 | 3---4 | 5---6---7 这样最长的直径是2，即是最优答案(当然不是唯一的)。

输入

第1行：两个空格分隔的整数V和S
第2~V行：两个空格分隔的整数A_i和B_i

输出

输出1行：一个整数，表示FJ可以获得的最大的直径。

样例输入 Copy

样例输出 Copy

2 

思路：

这题感觉还是挺好想的，一看到最值怎么样，第一反应就是二分之类的东西，然后就发现要一些状态的转移，然后就很容易想到DP。
我们可以二分该最小值，然后验证其是否合法，即保证最长链长度不可大于二分的答案
我们设dp[i]表示以第ii个节点为根的子树中，合法的最长链两端点路径不跨过根节点的链的长度
然后我们就可以用dp【i】计算要砍去多少条边，从而判断当前二分出的答案的合法性
虽然感觉很简单，但一细想发现转移并不是那么好打
显然直接求max(f[son])是不可行的，因为这不保证合法，但我们想，当我们选出两条儿子所在的最长链两端点路径不跨过根节点的链，发现当他们接在一起时长度过大，需要从中砍断的时候，会发现只有两种情况
把最长链链顶的边给砍了最优（如果砍的不是链顶的边，或者砍了较短的链，那就有可能还有其他不合法的情况，还要再砍一次）
砍了之后，不会对其父节点造成影响（由于砍完之后，这两个点都不在一个连通块里，固然不会有影响）。
至此这个题目基本上就可以秒切了，只要将当前点的所有dp【son】从大到小排个序，依次判断相邻的两个最长链两端点路径不跨过根节点的链是否合法，若合法就可以吧dp【i】赋值，否则就继续找，然后砍的数目加一。

代码：

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 const int maxn=1e6+;

 struct node

 {

     int to;

     int next;

 }way[maxn];

 int head[maxn];

 int tot=;

 int fa[maxn];

 int top,sumn;

 int x,y,s,n;

 int a[maxn];

 int add(int x,int y)

 {

     way[++tot].next=head[x];

     way[tot].to=y;

     head[x]=tot;

 }

 int dfs(int x,int f,int cut)

 {

     fa[x]=;

     for(int i=head[x];i;i=way[i].next)

     {

         if(way[i].to!=f)

         {

             dfs(way[i].to,x,cut);

         }

     }

     top=;

     for(int i=head[x];i;i=way[i].next)

     {

         if(way[i].to!=f)

         {

             a[++top]=fa[way[i].to]+;

         }

     }

     sort(a+,a++top);

     while(top&&a[top]+a[top-]>cut)

     {

         top--;

         sumn++;

     }

     fa[x]=a[top];

 }

 int check(int x)

 {

     sumn=;

     dfs(,,x);

     return sumn<=s;

 }

 int main()

 {

     cin>>n>>s;

     for(int i=;i<=n-;i++)

     {

         cin>>x>>y;

         add(x,y);

         add(y,x);

     }

     int l=;

     int r=n;

     while(l<r)

     {

         int mid=(l+r)>>;

         if(check(mid))

         {

             r=mid;

         }

         else

         {

             l=mid+;

         }

     }

     cout<<l<<endl;

     return ;

 }