Post Office IOI 2000 /// 区间DP oj24077

题目大意：

给定n个村庄的坐标，两个村庄之间的距离是其坐标之差的绝对值

最多能选m个村庄设立邮局，求设立邮局的地点使得各村庄与邮局距离总和最小

一，

所有的村庄看做在一条直线上

考虑三个因素：i 当前位于第几个村庄，j 已设立邮局的个数，s 村庄与邮局的距离总和

即dp数组为 dp[ i ][ j ] = s  , 区间DP，枚举中间点村庄 k

则dp[ i ][ j ]=max{ dp[ k ][ j-1 ] + s( k+1,i ) | 0<k<i}

（1~i村庄设j个邮局） 可由 （1~k村庄设j-1个邮局）+（k+1~i村庄设1个邮局） 得到

二，

再来考虑如何处理s( k,i )，即第 k+1 到 i 村庄之间设立一个邮局的最短距离

即考虑一个区间内选取哪个点可使 其他点到该点的差值的绝对值总和 是最小的

两个点以上的情况 首先可以排除首端和尾端的两个点

奇数个点的情况：

设a<b<c<d<e

1.选取b时

a   b   c   d   e

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2.选取c时

a   b   c   d   e

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可看出选取中间点更优

偶数个点的情况：

设a<b<c<d<e<f

1.选取c时

a   b   c   d   e   f

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2.选取d时

a   b   c   d   e   f

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可看出选取居中的两个点得到的结果是一样的

那么举个例子： s( a,d )=s( a,c )+d到邮局的距离，邮局最佳设立位置为（a+d）/2

就可得到 s( a,d )=s( a,c )+a[ d ]-a[ (a+d)/2 ]

则设数组s[][]保存 两点间设立一个邮局时 区间内村庄与邮局间距离总和的最小值

且 s[ i ][ j ]=s[ i ][ j-1 ] + a[ j ] - a[ (i+j)/2 ]

三，

邮局地点的记录（类似最长上升子序列的路径记录）

利用dp[i][j]的更新过程，枚举中间点k时，若其能更新当前的dp[i][j]，

说明 1~i 被分为两个区间 1~k 和 k+1~i，则区间 k+1~i 的邮局设立点为 （i+k+1）/2

那么记录此时前驱为 k，即 pre[i][j]=k，即记录了上一个区间的末尾

则当dp[][]更新结束后，dp[n][m]是1~n村庄设立m个邮局的距离总和最小值

pre[n][m]中记录的是倒数第二个区间的末尾k1，邮局设立点为（n+k1+1）/2

则pre[k1][m-1]中则记录着倒数第三个区间的末尾k2，邮局设立点为（k1+k2+1）/2

则pre[k2][m-2]中则记录着倒数第四个区间的末尾k3 ，......

这样逆推下去 就可以当推到0时 代表已经过了第一个区间

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
 
int n,m,a[];
int s[][]; // s[i][j] 在i到j之间设一个邮局的最小距离
int dp[][]; // dp[i][j] 前i个村落设j个邮局的最小花费
int pre[][],ans[];
 
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)) {
 
        memset(s,,sizeof(s));
        memset(dp,INF,sizeof(dp));
        memset(pre,,sizeof(pre));
 
        for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=;i<=n;i++) {
            for(int j=i+;j<=n;j++)
                s[i][j]=s[i][j-]+a[j]-a[(i+j)/];
            dp[i][]=s[][i]; // 顺带更新一下1~i设1个邮局的dp[][]
        }
 
        for(int i=;i<=n;i++) // 枚举末尾
            for(int j=;j<=i && j<=m;j++) // 枚举邮局个数
                for(int k=j-;k<i;k++) // 枚举 1~i 的中间点
                    if(dp[k][j-]+s[k+][i]<dp[i][j])
                    dp[i][j]=dp[k][j-]+s[k+][i], pre[i][j]=k;
 
        int x=n,y=m,ind=;
        while(x>&&y>) { /// 逆推并将邮局设立位置逆序存入ans[]
            ans[ind++]=a[(x+pre[x][y]+)/];
            x=pre[x][y--];
        }
 
        printf("%d\n",dp[n][m]);
        while(ind>) { // 从最后一个输出 才是正序
            printf("%d ",ans[--ind]);
        } printf("\n");
    }
 
    return ;
}