【JZOJ3213】【SDOI2013】直径

╰(￣▽￣)╭

小 Q最近学习了一些图论知识。根据课本，有如下定义。

树：无回路且连通的无向图，每条边都有正整数的权值来表示其长度。如果一棵树有N个节点，可以证明其有且仅有 N-1 条边。

路径：一棵树上，任意两个节点之间最多有一条简单路径。我们用 dis(a,b)表示点 a 和点 b 的路径上各边长度之和。称 dis(a,b)为 a、b 两个节点间的距离。

直径：一棵树上，最长的路径为树的直径。树的直径可能不是唯一的。

现在小 Q 想知道，对于给定的一棵树，其直径的长度是多少，以及有多少条边满足所有的直径都经过该边。

对于 20%的测试数据：N≤100

对于 40%的测试数据：N≤1000

对于 70%的测试数据：N≤100000

对于 100%的测试数据：2≤N≤200000，所有点的编号都在 1..N 的范围内，边的权值≤10^9。

(⊙ ▽ ⊙)

首先必须知道的性质是：

对于任意两条直径，它们一定会有重叠部分。

反证法：

如果两条直径没有重叠部分，那么一定可以构造出一条更长的直径。

然后，在这条性质的基础上，我们扩展得到：

所有直径都有共同的重叠部分，而且满足题目要求的边就是这重叠部分。

证明：

设a,b,c分别是树的三条直径，且a∩b=α，a∩c=β。

令α∩β=∅，那么树就会出现环。

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现在题目求的东西就变得很简单了。

利用树形动态规划，可以求出f[i],h[i]，其中：

f[i]在i的子树中，从i向下走的最长链，并用F[i]记录它的方案数。

h[i]不在i的子树中，从i向上走的最长链，并用H[i]记录它的方案数。

---

显然当一个点i的f[i]+h[i]为所有点中的f+h的最大值时，它的父边被F[i]∗H[i]条直径经过。

答案就等于所有被最多直径经过的边的数目。

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除此之外，还要特殊判断菊花图的情况。

---

时间复杂度为O(n)。

(￣～￣)

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#define ll long long
using namespace std;
const char* fin="jzoj3213.in";
const char* fout="jzoj3213.out";
const ll inf=0x7fffffff;
const ll maxn=200007,maxm=maxn*2;
ll n,i,j,k,l,ans=0;
ll fi[maxn],ne[maxm],la[maxm],va[maxm],tot,fa[maxn],Fa[maxn];
ll f[maxn],F[maxn],g[maxn],G[maxn],h[maxn],H[maxn],dmt,num;
ll son[maxn],pre[maxn],Pre[maxn],suf[maxn],Suf[maxn],pp[maxn];
void add_line(ll a,ll b,ll c){
    tot++;
    ne[tot]=fi[a];
    la[tot]=b;
    va[tot]=c;
    fi[a]=tot;
}
void dfs(ll v,ll from){
    ll i,j,k;
    fa[v]=from;
    for (k=fi[v];k;k=ne[k])
        if (la[k]!=from){
            dfs(la[k],v);
            if (f[la[k]]+va[k]==f[v]) F[v]+=F[la[k]];
            else if (f[la[k]]+va[k]>f[v]){
                F[v]=F[la[k]];
                f[v]=f[la[k]]+va[k];
            }
        }
    if (!F[v]) F[v]=1;
}
void geth(ll v,ll from){
    ll i,j,k;
    son[0]=0;
    for (k=fi[v];k;k=ne[k]) if (la[k]!=from) son[++son[0]]=la[k],pp[son[0]]=va[k];
    if (son[0]==1 && v==1) H[v]=1;
    pre[0]=Pre[0]=0;
    for (i=1;i<=son[0];i++){
        if (f[son[i]]+pp[i]>pre[i-1]){
            pre[i]=f[son[i]]+pp[i];
            Pre[i]=F[son[i]];
        }else if (f[son[i]]+pp[i]==pre[i-1]) pre[i]=pre[i-1],Pre[i]=Pre[i-1]+F[son[i]];
        else pre[i]=pre[i-1],Pre[i]=Pre[i-1];
    }
    suf[son[0]+1]=Suf[son[0]+1]=0;
    for (i=son[0];i>0;i--){
        if (f[son[i]]+pp[i]>suf[i+1]){
            suf[i]=f[son[i]]+pp[i];
            Suf[i]=F[son[i]];
        }else if (f[son[i]]+pp[i]==suf[i+1]) suf[i]=suf[i+1],Suf[i]=Suf[i+1]+F[son[i]];
        else suf[i]=suf[i+1],Suf[i]=Suf[i+1];
    }
    for (i=1;i<=son[0];i++){
        ll tmp,tmd;
        if (pre[i-1]>suf[i+1]) tmp=pre[i-1],tmd=Pre[i-1];
        else if (pre[i-1]<suf[i+1]) tmp=suf[i+1],tmd=Suf[i+1];
        else tmp=suf[i+1],tmd=Pre[i-1]+Suf[i+1];
        tmp+=pp[i];
        if (tmp>h[v]+pp[i]) h[son[i]]=tmp,H[son[i]]=tmd;
        else if (tmp<h[v]+pp[i]) h[son[i]]=h[v]+pp[i],H[son[i]]=H[v];
        else h[son[i]]=h[v]+pp[i],H[son[i]]=H[v]+tmd;
    }
    for (k=fi[v];k;k=ne[k]) if (la[k]!=from) geth(la[k],v);

}
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    for (i=1;i<n;i++){
        scanf("%lld%lld%lld",&j,&k,&l);
        add_line(j,k,l);
        add_line(k,j,l);
    }
    dfs(1,0);
    geth(1,0);
    for (i=2;i<=n;i++){
        if (dmt<h[i]+f[i]){
            dmt=max(dmt,h[i]+f[i]);
            num=H[i]*F[i];
        }else if (dmt==h[i]+f[i]) num=max(num,H[i]*F[i]);
    }
    for (i=2;i<=n;i++)
        if (dmt==h[i]+f[i]){
             if (num==H[i]*F[i]) ans++;
             if (h[i]==f[i] && F[i]*H[i]>1){
                ans=0;
                break;
             }
        }
    printf("%lld\n%lld",dmt,ans);
    return 0;
}

(⊙v⊙)

一条长度最长的链就是直径。

对于任意两条直径，它们一定会有重叠部分。

所有直径都有共同的重叠部分。