Codeforces Round #432 (Div. 1, based on IndiaHacks Final Round 2017) D. Tournament Construction（dp + 构造）

题意

一个竞赛图的度数集合是由该竞赛图中每个点的出度所构成的集合。

现给定一个 \(m\) 个元素的集合，第 \(i\) 个元素是 \(a_i\) 。（此处集合已经去重）

判断其是否是一个竞赛图的度数集合，如果是，找到点数最小的满足条件的竞赛图，并构造方案。

\(m, a_i \le 30\) ，\(a_i\) 互不相同。

题解

首先给出结论:假如给出每个点的出度,那么这些点能形成一个竞赛图当且仅当排序后的序列 \(d_1, d_2, d_3, \dots , d_n\) 满足对于所有 \(k < n\) 有 \(\displaystyle \sum _{k_i=1}^{k} d_i ≥ {k \choose 2}\) 且 \(\displaystyle \sum_{i = 1} ^ {n} d_i = {n \choose 2}\) 。

考虑证明，不难发现对于竞赛图的任意点集 \(S\) ，都必须满足 \(\displaystyle \sum_{i \in S} d_i \ge {|S| \choose 2}\) ，因为点集 \(S\) 之间的一对点至少会存在一条边贡献一个出度。

并且由于

\[{n \choose 2} = \sum_{i = 1} ^ {n} i - 1 \le n \times \max \{a_i\}
\]

所以发现最后的点数是 \(O(\max \{a_i\})\) 级别的，其实最多就是 \(2 \max \{a_i\} + 1\) 。

那么就可以 \(dp\) 了，先将给定集合中的元素从小到大排序。

设 \(f[i][j][sum]\) 表示考虑完前 \(i\) 个元素，当前图中已经有 \(j\) 个点了，度数之和为 \(sum\) 是否可行。

对于这个 \(dp\) 转移时枚举下一个元素出现了几次就行了。

然后我们只需要找到一个最小的 \(i\) 使得 \(\displaystyle f[n][i][{i \choose 2}]\) 满足就行了，这个就是合法点数。

似乎一定可以构造出方案。。不存在无解qwq 至于原因，可以去问 zhou888 。

然后需要构造方案，我们转移 \(dp\) 的时候多记一下当前如何转移的就行了，最后逆推回去就得到了度数可重集合。

然后我们用这个度数可重集合来构造答案，每次将度数从小到大排序，然后把第一个点向后面出度个点连边就行了，不难发现这样一定可以构造出一组合法解。

最后复杂度就是 \(O(n{a_i}^3)\) 的，可以通过qwq

总结

对于竞赛图可以考虑任意一个子集度数都不少于 \(\displaystyle {n \choose 2}\) 的性质。

然后考虑构造图的时候可以贪心的去暴力分配度数，或者用网络流模拟这个过程也行qwq

代码

用了 goto 以及 lambda 函数等骚操作。。

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)

using namespace std;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x(0), sgn(1); char ch(getchar());
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
    return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("D.in", "r", stdin);
	freopen ("D.out", "w", stdout);
#endif
}

const int Maxn = 35, N = 65;

bitset<2510> dp[Maxn][N], pre[Maxn][N];

int n, m, a[N], d[N], sum[N]; bitset<N> vis, G[N];

inline int Comb(int x) {
	return x * (x - 1) / 2;
}

int main () {

	File();

	n = read();
	For (i, 1, n) a[i] = read();
	sort(a + 1, a + n + 1);
	For (i, 1, n) sum[i] = sum[i - 1] + a[i];

	dp[0][0][0] = true;
	int pos = n;
	For(j, 1, 61) For (i, 1, n) {
		For (k, max(sum[i], Comb(j)), j * 30) {
			if (dp[i - 1][j - 1][k - a[i]]) dp[i][j][k] = pre[i][j][k] = true;
			if (dp[i][j - 1][k - a[i]]) dp[i][j][k] = !(pre[i][j][k] = false);
		}
		if (dp[n][j][Comb(j)]) { n = j; goto tag; }
	}
tag: ;

	 int deg = Comb(n);
	 Fordown (i, n, 1)
		 d[i] = a[pos], pos -= pre[pos][i][deg], deg -= d[i];

	 int id[N], len;
	 For (i, 1, n) {
		 len = 0;
		 For (j, 1, n) if (!vis[j]) id[++ len] = j;
		 sort(id + 1, id + len + 1, [&](int lhs, int rhs) { return d[lhs] < d[rhs]; });
		 vis[id[1]] = true;
		 For (j, 2, d[id[1]] + 1) G[id[1]][id[j]] = true;
		 For (j, d[id[1]] + 2, len) G[id[j]][id[1]] = true, -- d[id[j]];
	 }

	 printf ("%d\n", n);

	 For (i, 1, n)
		 For (j, 1, n + 1)
		 putchar (j == jend ? '\n' : G[i][j] + '0');

	 return 0;

}