高中数学必修一 笔记与拓展

1. 集合与函数概念

集合概念

集合是一个基本的数学概念.
集合是由集合的元素构成的.
当且仅当两个集合中包含着完全相同的元素且都不包含其它元素时两个集合相等.
集合是确定的,也就是说,一个集合不能包含他自己,这样它本身就不确定了.
集合中的元素是互异的.

集合表示

<右键可查看$\LaTeX$>

列举法

列举法就是把集合中的元素都列举出来.\[ A=\{ E_0,E_1,\dots \} \]

描述法

描述法就是描述集合中有的元素的特征.\[ A=\{ x \mid P(x) \} \]
其中$P(x)$是一个关于x的命题.

集合符号1 关系

集合元素 $a\in A$
非集合元素 $a\not\in A$
子集 $a\subseteq A$
真子集 $a\subset A$ 或 $a\subsetneq A$ 或 $a\subsetneqq A$(教科书)

集合性质

大小 $|A|$或$card(A)$
幂集 $2^A$即A子集的集合
幂集大小 $|2^A|=2^{|A|}$

集合符号2 运算

并集A|B $A\cup B=\{x\mid x\in A \vee x\in B\}$
交集A&B $A\cap B=\{x\mid x\in A \wedge x\in B\}$
绝对补集-B on U $\complement_UB=\{x\mid x\in U \wedge \neg (x\in B)\}$,要求$B\subseteq U$
相对补集(差集)A-B $\complement_AB=\{x\mid x\in A \wedge \neg (x\in B)\}$

集合定理1

$A|B=U\rightarrow U-B\subseteq A$

函数概念

函数是集合元素的映射.$f:A\rightarrow B$

函数表示法

解析法,图像法,列表法.

2. 函数特性

增减性

一个函数$f(x)$对于区间$P$为增函数要满足
\[\forall a,b\in P, \mathtt{assume }a<b, f(a)<f(b)\]

一个函数$f(x)$对于区间$P$为减函数要满足
\[\forall a,b\in P, \mathtt{assume }a<b, f(a)>f(b)\]

单调性

增减的合称.

增减 未知
增增 增
减减 减

复合函数

形如$f(g(x))$的函数.
增增 增
增减 减
减减 增

奇偶性

一个函数为奇函数满足$f(x)=-f(-x)$.

..$f(x)=f(-x)$.

单项式的奇偶性

假设单项式$ax^b$,$f(x)=ax^b$的奇偶性为b的奇偶性.

函数和的奇偶性

偶偶 偶
奇偶 不确定
奇奇 奇

函数积的奇偶性

偶偶 偶
奇偶 奇
奇奇 偶

基本初等函数

指数函数

基本思想

Exp: $N^+ \rightarrow N \rightarrow Z \rightarrow Q \rightarrow R (\rightarrow C)$
底大于等于0或引入复数.

性质

\[ \sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}} \\ x^a\times x^b=x^{a+b} \\ \left(x^a\right)^b=x^{ab} \\ x^{a^b}=x^{(a^b)} \\ \left(\frac{1}{x}\right)^n=x^{-n}\]

图像

单调

单调.看函数图像yy.

对数函数

基本思想

指数函数的反函数.

图像

关于$y=x$与对应指数函数对称.

性质

指数函数反过来.
换底公式:
\[ \log_e{p}=\frac{\log_a{p}}{\log_a{e}} \]

幂函数

基本思想

固定指数,以底数为自变量.

图像

图像比较多样.主要以直线,抛物线,高次抛物线,双曲线等为主.

函数与方程

方程的根

求解方程的根等价于求函数的零点,也就是函数图像与x轴的交点.

二分法求根

当$f(x_1)f(x_2)<0$时方程在$\left( x_1,x_2\right)$内有根,可以使用二分法求解.

Example

求解f(x)=x^2-3在(0,+inf)的根
可得f(0)f(3)<0,得到初始区间(0,3),f(0)<0,f(3)>0
f(3/2)<0, root in (3/2,3)
f(9/4)>0, root in (3/2,9/4)
f(15/8)>0, root in (3/2,15/8)
f(27/16)<0, root in (27/16,15/8)
f(57/32)>0, root in (27/16,57/32)
f(111/64)>0, root in (27/16,111/64)
f(219/128)<0, root in (219/128,111/64)
f(441/256)<0, root in (441/256,111/64)
f(885/512)<0, root in (885/512,111/64)
f(1773/1024)<0, root in (1773/1024,111/64)
f(3549/2048)>0, root in (1773/1024,3549/2048)
f(7095/4096)>0, root in (1773/1024,7095/4096)
...

二分近似7095/4096约1.732177734375
sqrt(3)精确值约1.73205080756888
有效精度约4位

牛顿迭代法求根

当我们可以快速计算出一个函数在某一点上的导数时,我们可以使用牛顿迭代法.

Example

求解f(x)=x^2-3在(0,+inf)的根
解方程得根x=sqrt(3),取x0=2作为近似值
x1=(x0+3/x0)/2=7/4
x2=(x1+3/x1)/2=97/56
x3=(x2+3/x2)/2=18817/10864
x4=(x3+3/x3)/2=708158977/408855776
x5=(x4+3/x4)/2=1002978273411373057/579069776145402304
...

牛顿迭代近似1002978273411373057/579069776145402304 约
1.7320508075688772935274463415058723678036950907819566706013
准确值约
1.7320508075688772935274463415058723669428052538103806280558
有效精度约36位

牛顿迭代法就是用函数切线与x轴交点进行逼近.

HM必修1的更多相关文章

  1. HM必修3

    高中数学必修三 笔记与拓展 算法初步 算法是按照一定规则解决固定问题,通过对输入的某种变换产生结果. 素性测试 检验一个数是否为素数. 试除法 一个数是素数的充分必要条件是它因数个数为二.显然1和它本 ...

  2. HM NIS Edit 2.0.3 Win32 Error. Code:740.请求的操作需要提升

    使用NSIS安装向导,生成脚本后,按F9后,居然提示:HM NIS Edit 2.0.3 Win32 Error. Code:740.请求的操作需要提升 一开始就出错了,还真不顺. 在网上搜索了一下, ...

  3. Linux命令(1) - 查看内存使用情况: free -hm

    使用"free -hm"命令查看linux服务器的内存使用状况,其中-h表示人性化显示,-m表示将内存显示为M:

  4. HM中再增加一路自己的entropy coder

    compressSlice 中一开始的entropy coder 设置: // set entropy coder if( m_pcCfg->getUseSBACRD() ) { m_pcSba ...

  5. HM中字典编码分析

    LZ77算法基本过程 http://jpkc.zust.edu.cn/2007/dmt/course/MMT03_05_2.htm LZ77压缩算法详解 http://wenku.baidu.com/ ...

  6. ubuntu下下载并安装H265(hm.x.x代码和X265代码)

    H265,现今是High Efficiency Video Coding的别称,详细的概述见维基百科,详细的开发见官方网站. 一.下载并编译官方的测试源码HM.x.x: 1 ubuntu下安装svn: ...

  7. HM中CU,TU的划分

    相信只要是做算法改进的,首先都会遇到这么一个问题:CU,PU及TU这几个在HM中该如何打印出它们最终的划分情况呢?也经常有人来问我这个问题,一般来说,因为问我的时候我一般手头都没有现成的代码可以提供, ...

  8. HEVC码率控制浅析——HM代码阅读之一

    HM的码率控制提案主要参考如下三篇:K0103,M0036,M0257.本文及后续文章将基于HM12.0进行讨论,且首先仅讨论K0103对应的代码,之后再陆续补充M0036,M0257对应的代码分析, ...

  9. HEVC码率控制浅析——HM代码阅读之四

    继续分析第一篇提到的compressSlice中对LCU的RC参数初始化: #if RATE_CONTROL_LAMBDA_DOMAIN Double oldLambda = m_pcRdCost-& ...

随机推荐

  1. 团队项目NABCD模型的需求分析

    团队项目NABCD模型的需求分析 NABCD模型的介绍 Need(需求)-现在市场上未被满足但又急需满足的客户需求是什么?Approach(方法)-要满足这种需求,我能够提出什么独特的方法吗?Bene ...

  2. nginx 下 location 配置解释

    当我们在使用负载均衡和反向代理的时候 我们会考到虚拟主机下面有着个配置 现在我们看一下反向代理的location 下面的配置实例: server { listen 80 ;    监听的端口号 ser ...

  3. 5.9-2比较str1和str2截取后的子串

    package zfc; public class ZfcShcq { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated ...

  4. AC自动机(转)

    http://www.cppblog.com/mythit/archive/2009/04/21/80633.html 首先简要介绍一下AC自动机:Aho-Corasick automation,该算 ...

  5. win10 1607 安装密钥 GVLK

    Core=YTMG3-N6DKC-DKB77-7M9GH-8HVX7 Professional=VK7JG-NPHTM-C97JM-9MPGT-3V66T Enterprise=XGVPP-NMH47 ...

  6. Bzoj3893 [Usaco2014 Dec]Cow Jog

    Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 302  Solved: 157 Description The cows are out exerci ...

  7. Uva11729 Commando War

    相邻两个士兵交换顺序,不会对其他的有所影响,贪心考虑两两之间交换策略即可. sort大法好.印象中这类排序题里有一种会卡sort,只能冒泡排序,然而到现在还没有遇到 /**/ #include< ...

  8. php返回json数据简单实例

    <?php include './include/conn.php'; //数据库链接文件 $sql_notice = mysql_query('SELECT * FROM gg_notice ...

  9. linux4

    linux 特点:1.免费 开源(代码公开)2.支持多线程/多用户的操作系统3.安全性4.对内存和文件管理有自己的一套优越的方法 linux最小只需要4M ->嵌入式开发默认不启动用户界面roo ...

  10. 从HashMap透析哈希表

    ##扯数据结构 先看一下哈希表的概念: 哈希表是一种数据结构,它可以提供快速的插入操作和查找操作.第一次接触哈希表,他会让人难以置信,因为它的插入和删除.查找都接近O(1)的时间级别.用哈希表,很多操 ...