HDU 1394 Minimum Inversion Number（线段树/树状数组求逆序数）

Minimum Inversion Number

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Problem Description

The inversion number of a given number sequence a1, a2, ..., an is the number of pairs (ai, aj) that satisfy i < j and ai > aj.

For a given sequence of numbers a1, a2, ..., an, if we move the first m >= 0 numbers to the end of the seqence, we will obtain another sequence. There are totally n such sequences as the following:

a1, a2, ..., an-1, an (where m = 0 - the initial seqence)
a2, a3, ..., an, a1 (where m = 1)
a3, a4, ..., an, a1, a2 (where m = 2)
...
an, a1, a2, ..., an-1 (where m = n-1)

You are asked to write a program to find the minimum inversion number out of the above sequences.

 

Input

The input consists of a number of test cases. Each case consists of two lines: the first line contains a positive integer n (n <= 5000); the next line contains a permutation of the n integers from 0 to n-1.

 

Output

For each case, output the minimum inversion number on a single line.

 

Sample Input

10
1 3 6 9 0 8 5 7 4 2

 

Sample Output

16

 

Author

CHEN, Gaoli

 

Source

ZOJ Monthly, January 2003

 

题目链接：HDU 1394

主要操作：单点更新，区间求和

通过此题学习到了如何用NlogN的时间来求一个数列的逆序对个数（简称逆序数），先上暴力求法

暴力求法代码：

int cnt=0;
for (int i=1; i<=n; ++i)
{
	for (int j=i+1; j<=n; ++i)
	{
		if(arr[i]>arr[j])//i<j但arr[i]却大于arr[j]，这就是一个逆序对<arr[i],arr[j]>
			++cnt;
	}
}
printf("%d\n",cnt);//cnt即为逆序对个数

那显然题目中的n可达5000，一平方估计得TLE，然后学习了一下用树状数组或线段树来求的方法。

主要思路：按照顺序读入一个数，记为arr[i]吧，然后对【arr[i]+1, end】求和记为sum，为什么这样就可以得到arr[i]的逆序对呢？

想想逆序对的定义：i<j且arr[i]>arr[j]（假设i<j前面），显然题目按顺序读入已经无形中满足了i<j的要求，也就是说正常上升序列应该是i<j且arr[i]<arr[j] ，但是你出现了一个arr[i]>arr[j]，也就是说让【arr[j],end】之间的arr[i]这个点的值发生变化（变为1），那我一旦对【arr[j]+1,end】求和就肯定会出现sum>0的情况，那这个大于0是谁造成的呢？就是某个大于arr[j]的arr[i]，不用管他是谁，反正只要arr[i]>arr[j]就能对【arr[j],end】一段求和造成影响，那显然一个arr[i]与arr[j]能组成一对，那n个就组成n对，那每一个的影响值都设为1，那求和求出来的就是对数。

然后得到了最初的逆序数怎么往后推？那就考虑开头的数移到末尾的影响，显然比开头的arr[0]小的数有arr[0]-1个记为low（题目中范围为0~n-1的自然数，且会全部出现且不重复），然后除去开头的数一共有n-1个，那么剩下比arr[0]大的数有(n-1)-(arr[0]-1)个即n-arr[0]个记为up。然后看开头的移到末尾，原本的逆序数变成了正序，原本的正序变成了逆序，因此移动之后的sum'=sum+（正序变为逆序就要加）up-（逆序变为正序就要减）low。

代入n与arr[0]得到sum'=sum+n-arr[0]-(arr[0]-1)=sum+n-arr[0]-arr[0]+1。

最后值得注意的是用树状数组的话题目中范围是0~n-1，出现0会死循环，因此arr[i]要自增1再操作。

树状数组代码（31ms）：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<sstream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<deque>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define CLR(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define LC(x) (x<<1)
#define RC(x) ((x<<1)+1)
#define MID(x,y) ((x+y)>>1)
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long LL;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=5010;
int T[N];
inline int lowbit(const int &n)
{
	return (n&-n);
}
void add(int k,int val)
{
	while (k<N)
	{
		T[k]+=val;
		k+=lowbit(k);
	}
}
int getsum(int k)
{
	int r=0;
	while (k)
	{
		r+=T[k];
		k-=lowbit(k);
	}
	return r;
}
int arr[N];
int main(void)
{
	int n,i,j;
	while (~scanf("%d",&n))
	{
		CLR(arr,0);
		CLR(T,0);
		int sum=0;
		for (i=1; i<=n; ++i)
		{
			scanf("%d",&arr[i]);
			++arr[i];
			sum+=(getsum(n)-getsum(arr[i]));
			add(arr[i],1);
		}
		int minm=INF;
		for (i=1; i<=n; ++i)
		{
			sum=sum+(n-arr[i])-arr[i]-1);
			if(sum<minm)
				minm=sum;
		}
		printf("%d\n",minm);
	}
	return 0;
}

线段树代码 （62ms）：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<sstream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<deque>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define CLR(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define LC(x) (x<<1)
#define RC(x) ((x<<1)+1)
#define MID(x,y) ((x+y)>>1)
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long LL;
const double PI=acos(-1.0);
const int N=5010;
struct info
{
	int l,r,mid;
	int sum;
}T[N<<2];
void pushup(int k)
{
	T[k].sum=T[LC(k)].sum+T[RC(k)].sum;
};
void build(int k,int l,int r)
{
	T[k].sum=0;
	T[k].l=l;
	T[k].r=r;
	T[k].mid=MID(l,r);
	if(l==r)
		return ;
	build(LC(k),l,T[k].mid);
	build(RC(k),T[k].mid+1,r);
	//pushup(k);
}
void update(int k,int x,int val)
{
	if(T[k].l==T[k].r&&T[k].l==x)
		T[k].sum+=val;
	else
	{
		if(x<=T[k].mid)
			update(LC(k),x,val);
		else
			update(RC(k),x,val);
		pushup(k);
	}
}
int range_query(int k,int l,int r)
{
	if(l<=T[k].l&&r>=T[k].r)
		return T[k].sum;
	else
	{
		if(r<=T[k].mid)
			return range_query(LC(k),l,r);
		else if(l>T[k].mid)
			return range_query(RC(k),l,r);
		else
			return range_query(LC(k),l,T[k].mid)+range_query(RC(k),T[k].mid+1,r);
	}
}
int arr[N];
int Scan()
{
    int res=0,ch,flag=0;
    if((ch=getchar())=='-')
        flag=1;
    else if(ch>='0'&&ch<='9')
        res=ch-'0';
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
        res=res*10+ch-'0';
    return flag?-res:res;
}
int main(void)
{
	int n,i,j;
	while (~scanf("%d",&n))
	{
		int sum=0,minm=INF;
		build(1,0,N);
		for (i=0; i<n; ++i)
		{
			arr[i]=Scan();
			sum+=range_query(1,arr[i]+1,N);
			update(1,arr[i],1);
		}
		for (i=0; i<n; ++i)
		{
			sum=sum+((n-1)-arr[i])-arr[i];
			if(sum<minm)
				minm=sum;
		}
		printf("%d\n",minm);
	}
	return 0;
}