MATLAB练习

第六章数据分析与多项式计算

1、max和min

  1. 1、分别求矩阵A中各列和各行元素中的最大值。maxmin的用法一样
    % 【例6.1】分别求矩阵中各列和各行元素中的最大值。
  1. A=[54,86,453,45;90,32,64,54;-23,12,71,18];
  2. y1=max(A); %求矩阵A中各列元素的最大值
  3. y2=max(A,[],2) %求矩阵A中各行元素的最大值

  4. y2 =

  5. 453
  6. 90
  7. 71

  8. >> y1

  9. y1 =

  10. 90 86 453 54    
  1.    
    2、求矩阵XY所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p
  1. >> X=[443,45,43;67,34,-43];
  2. >> Y=[65,73,34;61,84,326];
  3. >> p=max(X,Y);%两矩阵元素的同一位置比较,返回最大值
  4. p =
  5. 443 45 45
  6. 67 45 45

  

  1. 3、将矩阵A的元素与常数x比较,返回较大的元素,构成同A阶数相同的矩阵,元素取
  1. >> x=45;
  2. >> p=max(A,x);
  3. p =
  4. 443 45 45
  5. 67 45 45

  

2、求和sum(A)和sum(X,dim)、求积prod用发同sum

  1. 求矩阵A的每行元素之和和全部元素之和。
  2. >> A=[9,10,11,12;100,200,300,400;50,60,50,60];
  3. >> S=sum(A,2) %求A每行元素的和
  4. S =
  5. 42
  6. 1000
  7. 220
  8. >> p=sum(A) %求A的全部元素之和
  9. P =
  10. 1262

  

3、求平均值和中值

  1. 求平均数格式:
    M=mean(X);    X:向量或者矩阵
    M=mean(A,dim);  dim=12(行)
    求中值格式:
    M=median(X);    X:向量或者矩阵
    M=median(A,dim);  dim=12(列)
  2.  
  3. 例如,求向量= [-82479]与= [-8247915]的平均值和中值。
  1. >> x=[-8,2,4,7,9]; % 奇数个元素
  2. >> mx=[mean(x),median(x)]
  3. mx =
  4. 2.8000 4.0000
  5. >> y=[-8,2,4,7,9,15]; % 偶数个元素
  6. >> my=[mean(y), median(y)]
  7. my =
  8. 4.8333 5.5000

  

4、求累加和与累乘积

  1. 累加格式:
    B = cumsum(X);      X:向量或矩阵
    B = cumsum(X,dim):  dim12(列)
    累乘积用法同累加和
    B = cumprod(X);      X:向量或矩阵
    B = cumprod(X,dim):  dim12(列)
    列【例6.4】求S=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+10)的值。
  1. >> y=cumsum(1:10)
  2. y =
  3. 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
  4. >> s=sum(y)
  5. s =
  6. 220

  

5、统计描述函数

1、标准差
  1. 调用格式
    s = std(X , w, dim)   X矩阵或者行向量,w:用于指定标准差的计算方法;w=01 dim=12(求行元素标准差)
    某次射击选拔比赛中小明与小华的10次射击成绩(单位:环)如表6.1所示,试比较两人的成绩。
    小明:7,4,9,8,10,7,8,7,8,7
    小华:7,6,10,5,9,8,10,9,5,6
  1. >> hitmark=[7,4,9,8,10,7,8,7,8,7;7,6,10,5,9,8,10,9,5,6];
  2. >> mean(hitmark,2); %按行求平均值,返回一个列向量
  3. ans =
  4. 7.5000
  5. 7.5000
  6. >> std(hitmark,[],2);按行求标准差,返回一个列向量
  7. ans =
  8. 1.5811
  9. 1.9579

 注意:标准差越小,成绩波动越小

2、方差
  1. var函数的调用格式为
    V = var(X, w, dim)    x:向量或者矩阵   w用于指定权重方案(为0:或为1)   dim=1(求各列方差)或2

    考察一台机器的产品质量,判定机器工作是否正常。根据该行业通用法则:如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005,则该机器必须关闭待修。假设搜集的数据如表6.2所示,问此时的机器是否必须关闭?
  1. >> samples=[3.43,3.45,3.43,3.48,3.52,3.50,3.39,3.48,3.41,3.38,3.49,3.45,3.51,3.50];
  2. >>var_samples=var(samples);
  3. var_samples =
  4. 0.0021
3、相关系数
  1. [R,P]=corrcoef(X,Y):     %R:相关系数矩阵,p:p值矩阵     X和我Y
    矩阵返回相关系数矩阵和p值矩阵。如果得到的p值矩阵的非对角线元素小于显著性水平(即90%置信区间,默认为 0.05),则R中的相应相关性被视为显著
    [R,P]=corrcoef(X)    
    【例6.7】随机抽取15名健康成人,测定血液的凝血酶浓度及凝血时间,数据如表6.3所示。分析凝血酶浓度与凝血时间之间的相关性。
  1. >> density=[1.1,1.2,1.0,0.9,1.2,1.1,0.9,0.6,1.0,0.9,1.1,0.9,1.1,1,0.7]; %凝血酶浓度
  2. >> cruortime=[14,13,15,15,13,14,16,17,14,16,15,16,14,15,17]; %凝血时间
  3. >> [R,P]=corrcosf(density,cruortime)
  4. R =
  5. 1.0000 -0.9265
  6. -0.9265 1.0000
  1. 注意;R的绝对值接近1,说明相关程度高
4、协方差
  1. C = cov(x):
    C = cov(x,y)
    随机抽取15名健康成人,测定血液的凝血酶浓度及凝血时间,数据如表6.3所示。分析凝血酶浓度与凝血时间之间的相关性
  1. >> density=[1.1,1.2,1.0,0.9,1.2,1.1,0.9,0.6,1.0,0.9,1.1,0.9,1.1,1,0.7];
  2. >> cruortime=[14,13,15,15,13,14,16,17,14,16,15,16,14,15,17];
  3. >> C=cov(density,cruortime)
  4. C =
  5. 0.0289 -0.2014
  6. -0.2014 1.6381
  7. ​ 
  1. 注意:如果两个变量的协方差是正值,说明两者是正相关的,即两个变量的变化趋势一致;如果协方差为负值,则说明两者是负相关的,即两个变量的变化趋势相反;如果协方差为0,说明两者之间没有关系

6排序

  1. [Y,I]=sort(X, dim, mode)   Y是排序后的矩阵,而I记录Y中的元素在X中的位置,mode指明排序的方法,'ascend'(默认值)为升序,'descend'为降序
    6.8】对二维矩阵A=[1,-8,5;4,12,6;13,7,-13];做各种排序
  1. >> A=[1,-8,5;4,12,6;13,7,-13];
  2. >> Y=sort(A,2,'descend') %对A的每行按降序排序
  3. Y =
  4. 5 1 -8
  5. 12 6 4
  6. 13 7 -13
  7. >> [X,I]=sort(A) %对A的每列按升序排序,矩阵I存储X各元素在A对应列中的行号
  8. X =
  9. 1 -8 -13
  10. 4 7 5
  11. 13 12 6
  12. I =
  13. 1 1 3
  14. 2 3 1
  15. 3 2 2

  


6.2多项式计算

6.2.1多项式的四则运算

1、多项式的加减运算
  1. 计算
  1. >> a=[1,-2,5,3];
  2. >> b=[0,0,6,-1];
  3. >> c=a+b
  4. c =
  5. 1 -2 11

  

2、多项式的乘除
  1. w = conv(P1,P2)
    [Q,r] = deconv(P1,P2)
    P1P2是两个多项式的系数向量
    w是两个多项式相乘所得r
    如果多项式
  1. >> A=[1,8,0,0,-10];
  2. >> B=[2,-1,3];
  3. >> C=conv(A,B)
  4. C =
  5. 2 15 -5 24 -20 10 -30
  6. >> [P,r]=deconv(A,B)
  7. P =
  8. 0.5000 4.2500 1.3750
  9. r =
  10. 0 0 0 -11.3750 -14.1250
  11. 以下命令验证deconvconv是互逆的。
  12. >> conv(B,P)+r
  13. ans =
  14. 1 8 0 0 -10

6.2.2多项式求导

  1. k=polyder(P):求多项式P的导数,即
    k=polyder(P,Q):求P·Q的导数,即
    [q,d]=polyder(P,Q):求P/Q的导数
  1. >> P=[1];
  2. >> Q=[1,0,5];
  3. >> [p,q]=polyder(P,Q)
  4. p =
  5. -2 0
  6. q =
  7. 1 0 10 0 25

  

6.2.3多项式的求值

1、代数多项式求值
  1. y = polyval(p,x)   p是多项式系数向量。 x:标量,向量,矩阵

    【例6.11】已知多项式x4 + 8x3 - 10,分别取= 1.2和一个2 × 4矩阵为自变量计算该多项式的值。
  1. >> A=[1,8,0,0,-10]; % 4次多项式系数
  2. >> x=1.2; % 取自变量为一数值
  3. >> y1=polyval(A,x)
  4. y1 =
  5. 5.8976
  6. >> x=randi(9,2,4) %randi(imax,m,n)函数:生成一组值在[1, imax]区间均匀分布的随机整数,构建m × n矩阵
  7. x =
  8. 8 2 6 3
  9. 9 9 1 5
  10. >> y2=polyval(A,x) % 分别计算矩阵x中各元素为自变量的多项式之值
  11. y2 =
  12. 8182 70 3014 287
  13. 12383 12383 -1 1615
2、矩阵多项式求值
  1. polyval(P,A);   A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))

    polyvalm(P,A)  的含义为 A:方阵   A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))


    以多项式x4 + 8x3 -10为例,取一个2 × 2矩阵为自变量分别用polyvalpolyvalm计算该多项式的值。
  1. >> A=[1,8,0,0,-10]; % 多项式系数
  2. >> x=[-1,1.2; 2,-1.8]; % 给出一个矩阵x
  3. >> y1=polyval(A,x) % 计算代数多项式的值
  4. y1 =
  5. -17.0000 5.8976
  6. 70.0000 -46.1584
  7. >> y2=polyvalm(A,x) % 计算矩阵多项式的值
  8. y2 =
  9. -60.5840 50.6496
  10. 84.4160 -94.3504

  

6.2.4多项式的求根

  1. x=roots(P)    P为多项式的系数向量

    【例6.13】已知
  1. 1)计算f(x) = 0的全部根。
    2)由方程f(x) = 0的根构造一个多项式g(x),并与f(x)进行对比。
  2.  
  1. >> P=[2,-12,3,0,5];
  2. >> X=roots(P) %求方程f(x)=0的根
  3. X =
  4. 5.7246 + 0.0000i
  5. 0.8997 + 0.0000i
  6. -0.3122 + 0.6229i
  7. -0.3122 - 0.6229i
  8. >> G=poly(X) %求多项式g(x)
  9. G =
  10. 1.0000 -6.0000 1.5000 -0.0000 2.5000

  

6.2.5多项式的除法变换

  1. [r,p,k] = residue(b,a)
    [b,a] = residue(r,p,k)  
    ab 分别为分式的分母多项式、分子多项式的系数向量,r是分数多项式的商式的系数向量,p为分数多项式的极点,k为分数多项式的余式的系数向量
    【例6.14】已知
  1. 1)将f(x)进行分式分解。
    2)由分解的分式合成g(x),并与f(x)进行对比。
  1. >> b = [5 3 2 7]; %分子系数
  2. >> a = [-4 0 8 3]; %分母系数
  3. >> [r, p, k] = residue(b,a) %r分数多项式的商式系数向量
  4. r =
  5. -1.4167
  6. -0.6653
  7. 1.3320
  8. p = %p为分数多项式的极点
  9. 1.5737
  10. -1.1644
  11. -0.4093
  12. k =
  13. -1.2500
  14. >> [b,a] = residue(r,p,k)
  15. b =
  16. -1.2500 -0.7500 0.5000 -1.7500
  17. a =
  18. 1.0000 -0.0000 -2.0000 -0.7500

  

  1.  

6.3数据插值

6.3.1一维数据插值

  1. vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)
    vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)
    xv是两个等长的已知向量,分别存储采样点和采样值。若同一个采样点有多种采样值,则v可以为矩阵,v的每一列对应一种采样值。
    输入参数xq存储插值点,输出参数vq是一个列的长度与xq相同、宽度与v相同的矩阵。
    选项method用于指定插值方法,可取值如下。
    linear’(默认值):线性插值。
      pchip’:分段3次埃尔米特插值
      spline’:3次样条插值
      nearest’:最近邻点插值
      next’:取最后一个采样点的值作为插值点的值
      'previous':取前一个采样点的值作为插值点的值
      标量:设置域外点的返回值

    【例6.15】表6.4所示为我国0~6个月婴儿的体重、身长参考标准,用3次样条插值分别求得婴儿出生后半个月到5个半月每隔1个月的身长、体重参考值。
  1. >> tp=0:1:6; %采样点
  2. >> bb=[50.6,3.27;56.5,4.97;59.6,5.95;62.3,6.73;64.6,7.32;65.9,7.70;68.1,8.22]; %采样值
  3. >> interbp=0.5:1:5.5;
  4. >> interbv=interp1(tp,bb,interbp,'spline') %用3次样条插值计算
  5. interbv =
  6. 54.0847 4.2505
  7. 58.2153 5.5095
  8. 60.9541 6.3565
  9. 63.5682 7.0558
  10. 65.2981 7.5201
  11. 66.7269 7.9149

 

  1. x1 = 1:7;
  2. subplot(1,2,1)
  3. y1=x1;
  4. y1(x1<3)=3;
  5. y1(x1>5)=5;
  6. xq1 = 1:0.1:7; %存储插值点
  7. p1 = interp1(x1,y1,xq1,'pchip'); %分段3次埃尔米特插值
    s1 = interp1(x1,y1,xq1,'spline'); %3次样条插值
    plot(x1,y1,'ko',xq1,p1,'r-',xq1,s1,'b-.') subplot(1,2,2) x2 = 1:0.2:2*pi; %'ko':黑圆圈作为数据点标记
    y2 = cos(5*x)./sqrt(x); xq2 = 1:0.1:2*pi;
    p2 = interp1(x2,y2,xq2,'pchip');
    s2 = interp1(x2,y2,xq2,'spline'); plot(x2,y2,'ko',xq2,p2,'r-',xq2,s2,'b-.');
    legend('Sample Points','pchip','spline')

6.3数据插值

6.3.1一维数据插值

  1. vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)
  2. vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)
  3. xv是两个等长的已知向量,分别存储采样点和采样值。若同一个采样点有多种采样值,则v可以为矩阵,v的每一列对应一种采样值。
  4. 输入参数xq存储插值点,输出参数vq是一个列的长度与xq相同、宽度与v相同的矩阵。
  5. 选项method用于指定插值方法,可取值如下。
  6. linear’(默认值):线性插值。
  7. pchip’:分段3次埃尔米特插值
  8. spline’:3次样条插值
  9. nearest’:最近邻点插值
  10. next’:取最后一个采样点的值作为插值点的值
  11. 'previous':取前一个采样点的值作为插值点的值
  12. 标量:设置域外点的返回值

  13. 【例6.15】表6.4所示为我国0~6个月婴儿的体重、身长参考标准,用3次样条插值分别求得婴儿出生后半个月到5个半月每隔1个月的身长、体重参考值。

  1. >> tp=0:1:6; %采样点
  2. >> bb=[50.6,3.27;56.5,4.97;59.6,5.95;62.3,6.73;64.6,7.32;65.9,7.70;68.1,8.22]; %采样值
  3. >> interbp=0.5:1:5.5; %8存储插入点
  4. >> interbv=interp1(tp,bb,interbp,'spline') %用3次样条插值计算
  5. interbv =
  6. 54.0847 4.2505
  7. 58.2153 5.5095
  8. 60.9541 6.3565
  9. 63.5682 7.0558
  10. 65.2981 7.5201
  11. 66.7269 7.9149

  

6.3.2网格数据插值

1、二维数据插值

其调用格式为

Zq=interp2(X, Y, V, Xq, Yq, method, extrapval)

XY分别存储采样点的平面坐标,V存储采样点采样值。

Xq、Yq存储插值点的平面坐标,Zq是根据相应的插值方法得到的插值点的值。

选项method的取值与一维插值函数相同,extrapval指定域外点的返回值。

【例6.17】表6.5所示为某企业从1968~2008年、工龄为10年、20年和30年的职工的月均工资数据。试用线性插值求出1973~1993年每隔5年、工龄为15年和25年的职工月平均工资。

  1. >> x=1968:10:2008; %平面坐标的横坐标
  2. >> h=[10:10:30].'; %平面坐标的纵坐标
  3. >> W=[57,79,172,950,2496;
  4. 69,95,239,1537,3703;
  5. 87,123,328,2267,4982];
  6. >> xi=1973:5:2003; %存储采样点采样值
  7. >> hi=[15;25];
  8. >> WI=interp2(x,h,W,xi,hi)
  9. WI =
  10. 1.0e+03 *
  11. 0.0750 0.0870 0.1462 0.2055 0.7245 1.2435 2.1715
  12. 0.0935 0.1090 0.1963 0.2835 1.0928 1.9020 3.1223

  

2. 多维数据插值

MATLAB提供了3维、N维插值函数interp3、interpn,用法与interp2 一致。

Vq=interp3(X, Y, Z, V, Xq, Yq, Zq, method)

Vq=interpn(X1, X2,…,Xn, V, Xq1, Xq2,…,Xqn, method)

interp3函数的输入参数X、Y、Z以及interpn函数的输入参数 X1、X2、X3、...、Xn必须是网格格式。

6.3.3散乱数据插值

  1. vq = griddata(x,y,v,xq,yq,method)

    vq = griddata(x,y,z,v,xq,yq,zq,method)

    xyz存储采样点的坐标,v是与采样点的采样值

    xqyqzq存储插值点的坐标,vq是根据相应的插值方法得到的插值结果。

    选项method指定插值方法,可取值如下。

    linear’(默认值):基于三角剖分的线性插值、
    nearest’:基于三角剖分的最近邻点插值、
    natural’:基于三角剖分的三次自然邻点插值、
    cubic’:基于三角剖分的三次插值,仅支持二维插值、
    'v4':双调和样条插值,仅支持二维插值

    【例6.18】随机生成包含100个散点的数据集,绘制散点数据图和插值得到的网格数据图,观察插值结果。
  1. xy=rand(100,3)*10-5;
  2. x = xy(:,1);
  3. y = xy(:,2);
  4. z = xy(:,3);
  5. [xq,yq] = meshgrid(-4.9:0.08:4.9, -4.9:0.08:4.9);
  6. zq = griddata(x,y,z,xq,yq);
  7. mesh(xq,yq,zq)
  8. hold on
  9. plot3(x,y,z,'rp')

 结果

6.4曲线拟合

  1. polyfit函数的调用格式为
    p = polyfit(x,y,n)
    [p,S] = polyfit(x,y,n)
    [p,S,mu]=polyfit(X,Y,n)
    xy是两个等长的向量,存储采样点x和采样值y
    产生一个n次多项式的系数向量p及其在采样点的误差向量Sp是一个长度为+ 1的向量,p的元素为多项式p1xn+p2xn1+...+pnx+pn+1的系数。
    mu是一个二元列向量,mu(1)是mean(x), mu(2)是std(x)。
    【例6.19】某研究所为了研究氮肥的施肥量对土豆产量的影响,做了十次实验,实验数据如表6.6所示。试分析氮肥的施肥量与土豆产量之间的关系
  1. data=[0,15.18;34,21.36;67,25.72;101,32.29;135,34.03; ...
  2. 202,39.45;259,43.15;336,43.46;404,40.83;471,30.75];
  3. x=data(:,1);
  4. y=data(:,2);
  5. f=polyfit(x,y,2);
  6. yi=polyval(f,x);
  7. plot(x,y,'rp',x,yi)

  

6.5 非线性方程和非线性方程组的数值求解

6.5.1 非线性方程求解

  1. 求解一元连续函数F(x)的零点。
    格式1x=fzero(@fun,x0,options)     --->fun:函数名,x0:搜索起点。fzero只返回离x0最近的那个根。option为结构体变量。用于指定求解过程的优化参数。
    格式2:[x,fval,exitflag,output]=fzero(@fun,x0,options) --->fval返回目标函数在解x处的值,exitflag:返回求解过程终止原因,output :返回寻根过程最优化的信息。
    格式1为基本格式,格式2在函数寻根失败时返回寻根过程的错误和信息。
  2.  
  3. fzero的优化参数通常调用optimset函数设置,optimset函数的调用方法如下。options = optimset(优化参数1,值1, 优化参数2,值2,...)

【例6.20】求 e -2x - x =0在x0 = 0附近的根

fzero的优化参数通常调用optimset函数设置,optimset函数的调用方法如下。

options = optimset(优化参数1,值1, 优化参数2,值2,...)

(1)建立函数文件funx.m。

  1. function fx=funx(x)
  2.  
  3. fx=exp(-2*x)-x;

  

(2)调用fzero函数求根。

  1. >> z=fzero(@funx,0.0)
  2.  
  3. z =
  4.  
  5. 0.4263

  

如果要观测函数求根过程,可先设置优化参数,然后求解,命令如下。

  1. >> options=optimset('Display','iter');%设定显示迭代求解的中间结果
  2.  
  3. >> z=fzero(@funx,0.0,options);

  

【例6.21】求下列非线性方程组在(0.5,0.5)附近的数值解。

(1)建立函数文件myfun.m。

  1. function q=myfun(p)
  2.  
  3. x1=p(1);
  4.  
  5. x2=p(2);
  6.  
  7. q(1)=x1^2+x1-x2^2-1;
  8.  
  9. q(2)=x2-sin(x1^2);

  

(2)在给定的初值(0.5,0.5)下,调用fsolve函数求方程的根。

  1. x0=[0.5;0.5];
  2.  
  3. options = optimoptions('fsolve','Display','off'); %不显示中间结果
  4.  
  5. x= fsolve(@myfun,x0,options)
  6.  
  7. x =
  8.  
  9. 0.7260
  10.  
  11. 0.5029

  

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