P4430 小猴打架、P4981 父子

prufer编码

当然你也可以理解为 Cayley 公式，其实这个公式就是prufer编码经过一步就能推出的

P4430 小猴打架

P4981 父子

这俩题差不多

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先说父子，很显然题目就是让你求\(n\)个点的有根树有几条

\(n\)个点的无根树的 prufer 编码有\(n-2\)位，且编码和树一一对应并且每一位可以重复

那么就有\(n^{n-2}\)种构造无根树的方法

所以，就让每一个节点轮流当根，所以答案就是\(n^{n-2}\times n=n^{n-1}\)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline int read(){
	register int x=0;register int y=1;
	register char c=std::getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=std::getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
	return y?x:-x;
}
inline LL power(LL a,LL b,LL mod){
	LL ret=1;
	while(b){
		if(b&1) ret=ret*a%mod;
		a=a*a%mod;b>>=1;
	}
	return ret;
}
int main(){int T=read();while(T--){
	int n=read();
	std::printf("%lld\n",power(n,n-1,1e9+9));
}
	return 0;
}

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小猴打架那题：

一开始森林里面有\(N\)只互不相识的小猴子，它们经常打架，但打架的双方都必须不是好朋友。

每次打完架后，打架的双方以及它们的好朋友就会互相认识，成为好朋友。经过\(N-1\)次打架之后，整个森林的小猴都会成为好朋友

现在的问题是，总共有多少种不同的打架过程。

比如当\(N=3\)时，就有\(\{1-2,1-3\},\{1-2,2-3\},\{1-3,1-2\},\{1-3,2-3\},\{2-3,1-2\},\{2-3,1-3\}\)六种不同的打架过程。

这个题要求的是无根树，但是还要算上\(n-1\)条边被加入的不同顺序

所以答案就是\((n-1)!\times n^{n-2}\)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline int read(){
	register int x=0;register int y=1;
	register char c=std::getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=std::getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
	return y?x:-x;
}
inline LL power(LL a,LL b,LL mod){
	LL ret=1;
	while(b){
		if(b&1) ret=ret*a%mod;
		a=a*a%mod;b>>=1;
	}
	return ret;
}
int main(){
	int n=read();
	LL ans=1;
	for(reg int i=1;i<n;i++) ans=ans*i%9999991;
	std::printf("%lld\n",ans*power(n,n-2,9999991)%9999991);
	return 0;
}