C++ STL中的二分法

二分法介绍

狭义的二分法是一种在有序的数组中查找是否存在某个值的算法。广义的二分法不一定需要显式的数组，只需要有序的解空间即可。（此处解空间借用线性代数的称谓，仅表示所有合法解的集合，与线性代数无关）

有序解空间：设[a,b]是问题P的解空间（解必须是整数，a，b也是整数），解空间有序等价于若x是问题P的合法解，则任意c小于（大于）x一定是问题P的合法解。

不严谨地说，由于单调有界可知存在一个分界点，一侧是合法解，另一侧是不合法解（根据问题需要，单独定义分界点是否合法）。

最流行的二分法是使用两个指针left和right。该方法适合用于查找是否存在某个值（狭义），但对于找分界点的问题（广义），该方法最后必然会得到left=right+1的结果，这时难以弄清楚left和right谁是真正的分界点。

查询了C++ STL代码发现，STL没有使用这种方法。在STL中，使用一个指针first，指向当前最小的未判断元素，一个count计数器，表示当前未判断元素个数。

C++ STL中的代码

Algorithm头文件中的std::lower_bound()可以在有序解空间中查找大于val的最小数下标。

std::lower_bound()代码如下：

template <class ForwardIterator, class T>
  ForwardIterator lower_bound (ForwardIterator first, ForwardIterator last, const T& val)
{
  ForwardIterator it;
  iterator_traits<ForwardIterator>::difference_type count, step;
  count = distance(first,last);
  while (count>0)
  {
    it = first; step=count/2; advance (it,step);
    if (*it<val) {                 // or: if (comp(*it,val)), for version (2)
      first=++it;
      count-=step+1;
    }
    else count=step;
  }
  return first;
}

该方法需要显式的解空间作为参数，实际情况下并非所有解空间都能被显式存储，有时只知道一个函数f()，f(index)表示解空间的第index个值。在这种情况下，需要自己直接实现std::lower_bound()的功能。

代码分析

不妨设下标大于（等于）分界点的一侧为右半空间，小于分界点的一侧为左半空间。

不论左半空间和右半空间哪个是合法的，std::lower_bound()均可以找到右半空间的最小元素下标。

写代码注意点：

• while条件count>0，因为count=0表示没有数是未判断状态了，所以循环应该结束。
• if条件应该是it属于左半空间的充要条件，因为如果it满足条件直接跳到it+1，说明满足这个条件的都跳过。结合目标是找右半空间的最小元素下标可知，被跳过的都是左半空间元素。此时，由于跳过[first, first+step]，共step+1个数，所以count-=step+1。
• 如果it不满足条件，那么it属于右半空间，只剩下[first,first+step-1]是未判定的元素，共count个数，所以count=step。