[实变函数]5.1 Riemann 积分的局限性, Lebesgue 积分简介

1 Riemann 积分的局限性

(1) Riemann 积分与极限的条件太严:    $$\bex    f_k\rightrightarrows f\ra \lim \int_a^b f_k    =\int_a^b \lim f_k.    \eex$$

这 ``一致收敛'' 极大地限制了 Riemann 积分的应用.

(2) 积分运算不完全是微分运算的逆运算:    $$\bex    f\mbox{ 在 }x\mbox{ 连续}\ra \frac{\rd}{\rd x}\int_a^x f(t)\rd t=f(x),    \eex$$

但微分后再积分不一定能还原. 比如 Volterra 于 1881 年构造了一可微函

数 $F(x)$, 其导函数 $f(x)$ 有界但不 Riemann 可积, 而    $$\bex    F(x)=F(a)+\int_a^xf(t)\rd t    \eex$$

步成立.

2 鉴于 Riemann 积分的以上缺陷, Lebesgue 于 1902 年引入了 Lebesgue 积分, 很

大程度上摆脱了以上 Riemann 积分的困境.

3 Lebesgue 积分的的步骤

(1) Riemann 积分主要为: ``竖分割, 求和, 取极限'':    $$\bex    \lim \sum f(\xi_i)(x_i-x_{i-1});    \eex$$

(2) Lebesgue 积分主要为: ``横分割, 求和, 取极限'':    $$\bex    \lim \sum y_i mE[y_i\leq f< y_{i+1}].    \eex$$

4 Lebesgue 积分的基本思路

(1) 易知 $f\geq 0\ra $ 积分 $\geq 0$; $f\leq 0\ra$ 积分 $\leq 0$; 一般 $f\ra$ 积分 $=$ 正、负面

积的代数和. 我们考虑的可测函数 $f:E\to\overline{\bbR}$, 其正面积可能为 $\infty$, 负面

积可能为 $\infty$, 而可能出现 $\infty-\infty$ 的不定情形. 所以我们先考虑非负函数的积分.

(2) 对非负函数的积分, 有一个特别简单的情形, 那就是简单函数的积分.

(3) 所以本章的结构如下:

$\S 2$ 考虑非负简单函数的 Lebesgue 积分;

$\S 3$ 考虑非负可测函数的 Lebesgue 积分;

$\S 4$ 考虑一般可测函数的 Lebesgue 积分;

$\S 5$ 指出 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系;

$\S 6$ 推广 Fubini 定理.