luogu1072 Hankson的趣味题

题目大意

给出数a0, a1, b0, b1，求满足gcd(a0, x)=a1, lcm(b0, x)=b1的x的个数

解法一

枚举b1的因数，看看是否满足上述条件。

怎样枚举因数

试除法。对于1~sqrt(b1)的所有数i，若其能被b1整除，则i和b1/i便是b1的质因数。

注意

• 是sqrt(b1)，而不是sqrt(b1)+1。不要擅自主张，因为这样sqrt(b1)~sqrt(b1+1)中的能被b1整除的数就被算重了。
• 求lcm时，应当为a/gcd(a,b)*b，而不是a*b/gcd(a,b)。因为a*b可能会爆int。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdarg>
#include <cmath>
#include <cassert>
using namespace std;

const int MAX_P = 45000, MAX_P_CNT = 30000;
int Primes[MAX_P_CNT];
int A, B, Gcd, Lcm, AnsCnt, N;

void GetPrime(int *prime, int n)
{
	static bool NotPrime[MAX_P];
	memset(NotPrime, false, sizeof(NotPrime));
	int primeCnt = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (!NotPrime[i])
			prime[primeCnt++] = i;
		for (int j = 0; j < primeCnt; j++)
		{
			if (prime[j] * i > n)
				break;
			NotPrime[prime[j] * i] = true;
			if (i%prime[j] == 0)
				break;
		}
	}
}

int GetGcd(int a, int b)
{
	return b ? GetGcd(b, a%b) : a;
}

int GetLcm(int a, int b)
{
	return a / GetGcd(a, b) * b;//易忘点：Not a * b / GetGcd(a, b)
}

void Dfs(int pos, int prod, int curTime)
{
	if (pos>=0 && Primes[pos] > N)
		return;
	assert(Lcm%prod == 0);
	if (curTime > 0)
	{
		if (GetGcd(prod, A) == Gcd && GetLcm(prod, B) == Lcm)
			AnsCnt++;
		int d = Lcm / prod;
		if (d != prod && GetGcd(d, A) == Gcd && GetLcm(d, B) == Lcm)
			AnsCnt++;
	}
	for (int time = 0; prod <= N && Lcm%prod==0; time++)
	{
		Dfs(pos + 1, prod, time);
		prod *= Primes[pos + 1];
	}
}

int main()
{
	GetPrime(Primes, MAX_P);
	int caseCnt;
	scanf("%d", &caseCnt);
	while (caseCnt--)
	{
		scanf("%d%d%d%d", &A, &Gcd, &B, &Lcm);
		AnsCnt = 0;
		N = sqrt(Lcm);//易忘点：Don't plus 1
		Dfs(-1, 1, 1);
		printf("%d\n", AnsCnt);
	}
	return 0;
}

解法二

每个数都可以用Πp[i]^m[i]（p[i]是质数）表示，对于两个数a,b的最大公因数，它每一个p[i]的m[i]是a,b的m[i]中的较小值，最小公倍数是较大值。最终的结果便是每个p[i]计算出的满足较大较小关系的x的取值范围的大小。

注意

枚举n的质因数时，可能存在一个质数p>sqrt(n)。此时不要忘了它呀！

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdarg>
using namespace std;

const int MAX_P = 45000, MAX_P_CNT = 3000;
int Primes[MAX_P_CNT];
int TotPrime;

int GetPrime(int *prime, int n)
{
	static bool NotPrime[MAX_P];
	memset(NotPrime, false, sizeof(NotPrime));
	int primeCnt = 0;
	for(int i=2; i<=n; i++)
	{
		if (!NotPrime[i])
			prime[primeCnt++] = i;
		for (int j = 0; j < primeCnt; j++)
		{
			if (i*prime[j] > n)
				break;
			NotPrime[i*prime[j]] = true;
			if (i%prime[j] == 0)
				break;
		}
	}
	return primeCnt;
}

int GetM(int prime, int &x)
{
	int cnt = 0;
	while (x%prime == 0)
	{
		cnt++;
		x /= prime;
	}
	return cnt;
}

void DoPrime(int prime, int &ans, int &a, int &gcd, int &b, int &lcm)
{
	int mA = GetM(prime, a), mGcd = GetM(prime, gcd), mB = GetM(prime, b), mLcm = GetM(prime, lcm);
	if (mA == mGcd && mB == mLcm && mGcd <= mLcm)
		ans *= mLcm - mGcd + 1;//x *= prime ^ (mGcd ~ mLcm)
	else if (mA == mGcd && mB < mLcm && mGcd <= mLcm)
		ans *= 1;//x *= prime ^ (mLcm)
	else if (mA > mGcd && mB == mLcm && mGcd <= mLcm)
		ans *= 1;//x *= prime ^ (mGcd)
	else if (mA > mGcd && mB < mLcm && mGcd == mLcm)
		ans *= 1;//x *= (mGcd == mLcm)
	else
		ans *= 0;
}

int Proceed(int a, int gcd, int b, int lcm)
{
	int ans = 1, end = max(a, lcm);
	for (int p = 0; Primes[p] <= end && ans && p<TotPrime; p++)
		DoPrime(Primes[p], ans, a, gcd, b, lcm);
	if (a > 1)
		DoPrime(a, ans, a, gcd, b, lcm);
	else if (lcm > 1 && lcm != a)
		DoPrime(lcm, ans, a, gcd, b, lcm);
	return ans;
}

int main()
{
	TotPrime = GetPrime(Primes, MAX_P);
	int caseCnt;
	scanf("%d", &caseCnt);
	while (caseCnt--)
	{
		int a, gcd, b, lcm;
		scanf("%d%d%d%d", &a, &gcd, &b, &lcm);
		printf("%d\n", Proceed(a, gcd, b, lcm));
	}
	return 0;
}