洛谷 P1348 Couple number

题目描述

任何一个整数N都能表示成另外两个整数a和b的平方差吗？如果能，那么这个数N就叫做Couple number。你的工作就是判断一个数N是不是Couple number。

输入输出格式

输入格式：

仅一行，两个长整型范围内的整数$n_1$和$n_2$，之间用1个空格隔开。

输出格式：

输出在$n_1$到$n_2$范围内有多少个Couple number。

注意：包括$n_1$和$n_2$两个数，且$n_1<n_2，n_2 - n_1 \leqslant 10^7$。

输入输出样例

输入样例#1： 
1 10
输出样例#1：
7

感想

　　离高考还有46天，为纪念省统测考得不错，忙里偷闲来做一道题#滑稽。

　　前几天Neil出YNOI2018时没叫上我，自己一个人就把题目出好发给老师了……说好的一起出今年省选题呢！？

　　发现自己的码力在不断地降降降降……这道普及减的题花费了我两晚上(见下)……

解题思路(雾)

　　第一晚，打表找规律——

 #include<cstdio>

 int p[]={};
 int pf[]={};
 int main()
 {
     for(int i=;i<=;i++)
         pf[i]=i*i;

     for(int i=;i<=;i++)
         for(int j=;j<i;j++)
             p[pf[i]-pf[j]]=;

     for(int i=1;i<=;i++)//我居然还记得这样可以既去重又排序#滑稽
         if(!p[i]) printf("%d\n",i);

     return ;
 }

　　运行结果的最前面一部分——

　　随着$n$的增大，$n^2$和$(n-1)^2$的差距只会越来越大，这些在一万以内无法用平方差表示的数，一万以上的数的平方差更表示不了，所以基本可以确定这些就是答案要排除的数了。可以看到，这些数按顺序排成数列，是以2为首项，4为公差的等差数列，那么我们只需判断$a$到$b$的范围内有多少个数字不在这个数列当中。

　　第二晚——写暴力。无疑有$O(1)$的算法，还不难，但是本蒟蒻凑了好久都凑不出来，留坑到高考以后算了(逃)，那就先写个$O(n)$的暴力把这题A了再说吧——

 #include<cstdio>

 int main()
 {
     int a,b;
     scanf("%d%d",&a,&b);
     int ans=;
     for(int i=a;i<=b;i++)//水平下降的标志
     {
         if((i-)%) ans++;
     }
     printf("%d",ans);
     return ;
 }

　　至于证明，感觉可以用数列$a_n=n^2$的差分数列为$b_n=2n+1$来证，答案的意思就是，$[a,b]$内有多少个数字能表示成$b_n$的一段区间和，然后……留坑到高考以后吧