KD-Tree复习笔记(BZOJ1941 & BZOJ2648 & BZOJ4066)

快一年了都没碰到什么必须用KDT的题目导致模板完全忘光了，重新复习了一下。

K_Dimention_Tree是一种用来处理二维以上问题的数据结构（OI中一般都是二维），本质是二维启发式估价函数实现剪枝（实际上就是暴搜的优化），随机数据是大常数$O(n\log n)$，构造数据是$O(n\sqrt{n})$，但是好像可以过50W。

先说一下实现：

Build() : 对于二维中的一系列点，枚举x坐标中位数的一条直线，直线两边的点分别划为左右子树，下一层枚举y坐标中位数，不断交替进行。

Ins() : 同样x，y坐标交替作为关键字插入，类似平衡数，代码很简短。

Que() : 先求出两棵子树的估价函数，选估价更优的递归下去，然后递归另一个（如果估价比当前答案还要劣则剪枝）。由此可知，估价函数和A-Star中的启发式函数一样，必须保证估价比实际优。

下面分别说一下两个模型的启发式函数：

1.曼哈顿最小值和最大值：

 int getmn(P a){ int s=; rep(i,,) s+=max(T[i]-a.mx[i],),s+=max(a.mn[i]-T[i],); return s; }
 int getmx(P a){ int s=; rep(i,,) s+=max(abs(T[i]-a.mx[i]),abs(T[i]-a.mn[i])); return s; }

2.欧氏距离最大值：

int getmx(P a){ int s=; rep(i,,) s+=sqr(max(abs(T[i]-a.mx[i]),abs(T[i]-a.mn[i]))); return s; }

几个注意点：

1.并不一定需要启发式函数，只需要普通的显然的剪枝，KD树也不一定是求最优化，见下面例题。

2.模板稍长且很容易写错，并且很多时候出错不体现在WA而是TLE，写的时候一定要注意细节。

3.build因为有时是rebuild，所以没有数的地方要返回0（被坑了好多次）

下面是例题：

1. BZOJ1941

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 typedef long long ll;
 using namespace std;

 const int N=,inf=;
 int n,ans=inf,res,rt,F=;

 inline void cmin(int &x,int y){ if (y<x) x=y; }
 inline void cmax(int &x,int y){ if (y>x) x=y; }
 int abs(int x){ return (x<) ? -x : x; }

 struct P{
     int d[],mx[],mn[],l,r;
     int& operator [](int x){ return d[x]; }
     friend bool operator <(P a,P b){ return a[F]<b[F]; }
     friend int dis(P a,P b){ return abs(a[]-b[])+abs(a[]-b[]); }
 }p[N],t[N],T;

 void upd(int x){
     int l=t[x].l,r=t[x].r;
     rep(i,,){
         t[x].mn[i]=t[x].mx[i]=t[x][i];
         if (l) cmin(t[x].mn[i],t[l].mn[i]),cmax(t[x].mx[i],t[l].mx[i]);
         if (r) cmin(t[x].mn[i],t[r].mn[i]),cmax(t[x].mx[i],t[r].mx[i]);
     }
 }

 int build(int l,int r,int k){
     if (l>r) return ;
     F=k; int mid=(l+r)>>;
     nth_element(p+l,p+mid,p+r+); t[mid]=p[mid];
     rep(i,,) t[mid].mn[i]=t[mid].mx[i]=t[mid][i];
     t[mid].l=build(l,mid-,k^); t[mid].r=build(mid+,r,k^);
     upd(mid); return mid;
 }

 int getmn(P a){ int s=; rep(i,,) s+=max(T[i]-a.mx[i],),s+=max(a.mn[i]-T[i],); return s; }
 int getmx(P a){ int s=; rep(i,,) s+=max(abs(T[i]-a.mx[i]),abs(T[i]-a.mn[i])); return s; }

 void quemn(int x){
     int tmp=dis(T,t[x]);
     if (tmp) res=min(res,tmp);
     int l=t[x].l,r=t[x].r,dl=inf,dr=inf;
     if (l) dl=getmn(t[l]); if (r) dr=getmn(t[r]);
     if (dl<dr) { if (dl<res) quemn(l); if (dr<res) quemn(r); }
         else { if (dr<res) quemn(r); if (dl<res) quemn(l); }
 }

 void quemx(int x){
     res=max(res,dis(T,t[x]));
     int l=t[x].l,r=t[x].r,dl=-inf,dr=-inf;
     if (l) dl=getmx(t[l]); if (r) dr=getmx(t[r]);
     if (dl>dr) { if (dl>res) quemx(l); if (dr>res) quemx(r); }
         else { if (dr>res) quemx(r); if (dl>res) quemx(l); }
 }

 int que(int f,int x,int y){
     T[]=x; T[]=y;
     if (f) res=-inf,quemx(rt); else res=inf,quemn(rt);
     return res;
 }

 int main(){
     freopen("bzoj1941.in","r",stdin);
     freopen("bzoj1941.out","w",stdout);
     scanf("%d",&n);
     rep(i,,n) scanf("%d%d",&p[i][],&p[i][]);
     rt=build(,n,);
     rep(i,,n) ans=min(ans,que(,p[i][],p[i][])-que(,p[i][],p[i][]));
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

2.BZOJ2648

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 typedef long long ll;
 using namespace std;

 const int N=,inf=;
 int n,m,F,nd,rt,op,res;

 inline void cmin(int &x,int y){ if (y<x) x=y; }
 inline void cmax(int &x,int y){ if (y>x) x=y; }
 int abs(int x){ return (x<) ? -x : x; }

 struct P{
     int d[],mn[],mx[],l,r;
     int& operator [](int x){ return d[x]; }
     friend bool operator <(P a,P b){ return a[F]<b[F]; }
     friend int dis(P a,P b){ return abs(a[]-b[])+abs(a[]-b[]); }
 }p[N],t[N],a;

 void upd(int x){
     int l=t[x].l,r=t[x].r;
     rep(i,,){
         t[x].mn[i]=t[x].mx[i]=t[x][i];
         if (l) cmin(t[x].mn[i],t[l].mn[i]),cmax(t[x].mx[i],t[l].mx[i]);
         if (r) cmin(t[x].mn[i],t[r].mn[i]),cmax(t[x].mx[i],t[r].mx[i]);
     }
 }

 int build(int l,int r,int k){
     if (l>r) return ;
     F=k; int mid=(l+r)>>;
     nth_element(p+l,p+mid,p+r+); t[mid]=p[mid];
     rep(i,,) t[mid].mn[i]=t[mid].mx[i]=t[mid][i];
     t[mid].l=build(l,mid-,k^); t[mid].r=build(mid+,r,k^);
     upd(mid); return mid;
 }

 void ins(int &x,int k){
     if (!x) { t[x=++nd]=a; upd(x); return; }
     if (a[k]<=t[x][k]) ins(t[x].l,k^); else ins(t[x].r,k^);
     upd(x);
 }

 int get(int x){
     int s=;
     rep(i,,) s+=max(a[i]-t[x].mx[i],)+max(t[x].mn[i]-a[i],);
     return s;
 }

 void que(int x){
     res=min(res,dis(t[x],a));
     int l=t[x].l,r=t[x].r,dl=inf,dr=inf;
     if (l) dl=get(l); if (r) dr=get(r);
     if (dl<dr) { if (dl<res) que(l); if (dr<res) que(r); }
         else { if (dr<res) que(r); if (dl<res) que(l); }
 }

 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     rep(i,,n) scanf("%d%d",&p[i][],&p[i][]);
     rt=build(,n,); nd=n;
     rep(i,,m){
         scanf("%d%d%d",&op,&a[],&a[]);
         if (op==) ins(rt,); else res=inf,que(rt),printf("%d\n",res);
     }
     return ;
 }

3.BZOJ4066

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 #define G x1,y1,x2,y2,t[x].mn[0],t[x].mn[1],t[x].mx[0],t[x].mx[1]
 typedef long long ll;
 using namespace std;

 const int N=;
 int n,op,F,rt,m=;
 ll v,ans,cnt,x1,y1,x2,y2;

 inline void cmin(int &x,int y){ if (y<x) x=y; }
 inline void cmax(int &x,int y){ if (y>x) x=y; }

 bool in(int x1,int y1,int x2,int y2,int X1,int Y1,int X2,int Y2)
 { return x1<=X1 && X2<=x2 && y1<=Y1 && Y2<=y2;}
 bool out(int x1,int y1,int x2,int y2,int X1,int Y1,int X2,int Y2)
 { return x1>X2 || x2<X1 || y1>Y2 || y2<Y1; }

 struct P{
     int d[],mn[],mx[],l,r,v; ll sm;
     int& operator [](int x){ return d[x]; }
     friend bool operator <(P a,P b){ return a[F]<b[F]; }
 }T,p[N],t[N];

 void upd(int x){
     int l=t[x].l,r=t[x].r;
     rep(i,,){
         t[x].mn[i]=t[x].mx[i]=t[x][i];
         if (l) cmin(t[x].mn[i],t[l].mn[i]),cmax(t[x].mx[i],t[l].mx[i]);
         if (r) cmin(t[x].mn[i],t[r].mn[i]),cmax(t[x].mx[i],t[r].mx[i]);
     }
     t[x].sm=t[l].sm+t[r].sm+t[x].v;
 }

 int build(int l,int r,int k){
     if (l>r) return ;
     F=k; int mid=(l+r)>>;
     nth_element(p+l,p+mid,p+r+); t[mid]=p[mid];
     t[mid].l=build(l,mid-,k^); t[mid].r=build(mid+,r,k^);
     upd(mid); return mid;
 }

 void ins(int &x,int k){
     if (!x) { t[x=++cnt]=T; upd(x); return; }
     if (T[]==t[x][] && T[]==t[x][]){ t[x].v+=T.v; t[x].sm+=T.v; return; }
     if (T[k]<t[x][k]) ins(t[x].l,k^); else ins(t[x].r,k^);
     upd(x);
 }

 ll que(int x,int x1,int y1,int x2,int y2){
     if (!x) return ; ll tmp=,l=t[x].l,r=t[x].r;
     if (in(G)) return t[x].sm; if (out(G)) return ;
     if (in(x1,y1,x2,y2,t[x][],t[x][],t[x][],t[x][])) tmp+=t[x].v;
     tmp+=que(l,x1,y1,x2,y2)+que(r,x1,y1,x2,y2);
     return tmp;
 }

 int main(){
     freopen("bzoj4066.in","r",stdin);
     freopen("bzoj4066.out","w",stdout);
     scanf("%d",&n);
     while (){
         scanf("%d",&op);
         if (op==) break;
         if (op==){
             scanf("%lld%lld%lld",&x1,&y1,&v);
             T[]=x1^ans; T[]=y1^ans; T.v=v^ans; ins(rt,);
             if (cnt==m){
                 rep(i,,cnt) p[i]=t[i]; m+=; rt=build(,cnt,);
             }
         }else{
             scanf("%lld%lld%lld%lld",&x1,&y1,&x2,&y2);
             x1^=ans; y1^=ans; x2^=ans; y2^=ans;
             printf("%lld\n",ans=que(rt,x1,y1,x2,y2));
         }
     }
     return ;
 }

4.崂山百花蛇草水：见LOJ代码