【BZOJ1013】【JSOI2008】球形空间产生器sphere（高斯消元）

1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

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Description

有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

第一行是一个整数，n。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

数据规模：

对于40%的数据，1<=n<=3

对于100%的数据，1<=n<=10

提示：给出两个定义：

1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。

2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

Source

分析：

设球心坐标为(x1,x2,x3,...,xn)，球的半径为R

则可以根据N+1个点列出N+1个方程

（a1-x1)^2+(a2-x2)^2+...+(an-xn)^2=R^2 ①

（b1-x1)^2+(b2-x2)^2+...+(bn-xn)^2=R^2 ②

（c1-x1)^2+(c2-x2)^2+...+(cn-xn)^2=R^2 ③

......

然后把①-②得到2(a1-b1)x1+2(a2-b2)x2+...+2(an-bn)xn=a1^2-b1^2+a2^2-b2^2+...+an^2-bn^2

同理②-③，③-④,...都能得到类似的式子

发现N+1个方程变成了N个方程，且这N个方程左边都是一个确切的数，即N元一次方程

然后就对N个方程高斯消元求解，注意精度即可

code：

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=10;
const double eps=1e-8;
double a[maxn+5][maxn+5],b[maxn+5][maxn+5];
int n;
int main()
{
	freopen("ce.in","r",stdin);
	freopen("ce.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n+1;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)
			scanf("%lf",&b[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		double s=0.0;
		for(int j=1;j<=n;++j) a[i][j]=2.0*(b[i][j]-b[i+1][j]),s+=b[i][j]*b[i][j]-b[i+1][j]*b[i+1][j];
		a[i][n+1]=s;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(a[i][i]==0)
		{
			int j;
			for(j=i+1;j<=n;++j)	if(fabs(a[j][i]-0.0)<=eps) break;
			for(int k=1;k<=n+1;++k) swap(a[i][k],a[j][k]);
		}
		for(int j=1;j<=n+1;++j) if(i!=j)a[i][j]/=a[i][i];a[i][i]=1.0;
		for(int j=1;j<=n;++j)
			if(j!=i)
			{
				for(int k=1;k<=n+1;++k) if(k!=i) a[j][k]-=a[i][k]*a[j][i]/a[i][i];a[j][i]=0.0;
			}
	}
	for(int i=1;i<n;++i) printf("%.3lf ",a[i][n+1]);printf("%.3lf",a[n][n+1]);
	return 0;
}