二叉堆(一)之 图文解析 和 C语言的实现

概要

本章介绍二叉堆，二叉堆就是通常我们所说的数据结构中"堆"中的一种。和以往一样，本文会先对二叉堆的理论知识进行简单介绍，然后给出C语言的实现。后续再分别给出C++和Java版本的实现；实现的语言虽不同，但是原理如出一辙，选择其中之一进行了解即可。若文章有错误或不足的地方，请不吝指出！

目录
1. 堆和二叉堆的介绍
2. 二叉堆的图文解析
3. 二叉堆的C实现(完整源码)
4. 二叉堆的C测试程序

转载请注明出处：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3610187.html

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更多内容：数据结构与算法系列 目录

(01) 二叉堆(一)之 图文解析 和 C语言的实现
(02) 二叉堆(二)之 C++的实现
(03) 二叉堆(三)之 Java的实

堆和二叉堆的介绍

堆的定义

堆(heap)，这里所说的堆是数据结构中的堆，而不是内存模型中的堆。堆通常是一个可以被看做一棵树，它满足下列性质：
[性质一] 堆中任意节点的值总是不大于(不小于)其子节点的值；
[性质二] 堆总是一棵完全树。
将任意节点不大于其子节点的堆叫做最小堆或小根堆，而将任意节点不小于其子节点的堆叫做最大堆或大根堆。常见的堆有二叉堆、左倾堆、斜堆、二项堆、斐波那契堆等等。

二叉堆的定义

二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，它分为两种：最大堆和最小堆。
最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。示意图如下：

二叉堆一般都通过"数组"来实现。数组实现的二叉堆，父节点和子节点的位置存在一定的关系。有时候，我们将"二叉堆的第一个元素"放在数组索引0的位置，有时候放在1的位置。当然，它们的本质一样(都是二叉堆)，只是实现上稍微有一丁点区别。
假设"第一个元素"在数组中的索引为 0 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：
(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);
(03) 索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2);

假设"第一个元素"在数组中的索引为 1 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：
(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i);
(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(03) 索引为i的父结点的索引是 floor(i/2);

注意：本文二叉堆的实现统统都是采用"二叉堆第一个元素在数组索引为0"的方式！

二叉堆的图文解析

在前面，我们已经了解到："最大堆"和"最小堆"是对称关系。这也意味着，了解其中之一即可。本节的图文解析是以"最大堆"来进行介绍的。

二叉堆的核心是"添加节点"和"删除节点"，理解这两个算法，二叉堆也就基本掌握了。下面对它们进行介绍。

1. 添加

假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85，需要执行的步骤如下：

如上图所示，当向最大堆中添加数据时：先将数据加入到最大堆的最后，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动为止！
将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后，最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。

最大堆的插入代码(C语言)

/*
 * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
 *
 * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 参数说明：
 *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
static void maxheap_filterup(int start)
{
    int c = start;            // 当前节点(current)的位置
    int p = (c-)/;        // 父(parent)结点的位置
    int tmp = m_heap[c];        // 当前节点(current)的大小

    while(c > )
    {
        if(m_heap[p] >= tmp)
            break;
        else
        {
            m_heap[c] = m_heap[p];
            c = p;
            p = (p-)/;
        }
    }
    m_heap[c] = tmp;
}

/*
 * 将data插入到二叉堆中
 *
 * 返回值：
 *     0，表示成功
 *    -1，表示失败
 */
int maxheap_insert(int data)
{
    // 如果"堆"已满，则返回
    if(m_size == m_capacity)
        return -;

    m_heap[m_size] = data;        // 将"数组"插在表尾
    maxheap_filterup(m_size);    // 向上调整堆
    m_size++;                    // 堆的实际容量+1

    return ;
}

maxheap_insert(data)的作用：将数据data添加到最大堆中。
当堆已满的时候，添加失败；否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。

2. 删除

假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90，需要执行的步骤如下：

从[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]删除90之后，最大堆变成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。
如上图所示，当从最大堆中删除数据时：先删除该数据，然后用最大堆中最后一个的元素插入这个空位；接着，把这个“空位”尽量往上挪，直到剩余的数据变成一个最大堆。

注意：考虑从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除60，执行的步骤不能单纯的用它的子节点来替换；而必须考虑到"替换后的树仍然要是最大堆"！

最大堆的删除代码(C语言)

/*
 * 返回data在二叉堆中的索引
 *
 * 返回值：
 *     存在 -- 返回data在数组中的索引
 *     不存在 -- -1
 */
int get_index(int data)
{
    int i=;

    for(i=; i<m_size; i++)
        if (data==m_heap[i])
            return i;

    return -;
}

/*
 * 最大堆的向下调整算法
 *
 * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 参数说明：
 *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
 *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
static void maxheap_filterdown(int start, int end)
{
    int c = start;          // 当前(current)节点的位置
    int l = *c + ;     // 左(left)孩子的位置
    int tmp = m_heap[c];    // 当前(current)节点的大小

    while(l <= end)
    {
        // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
        if(l < end && m_heap[l] < m_heap[l+])
            l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[l+1]
        if(tmp >= m_heap[l])
            break;        //调整结束
        else
        {
            m_heap[c] = m_heap[l];
            c = l;
            l = *l + ;
        }
    }
    m_heap[c] = tmp;
}

/*
 * 删除最大堆中的data
 *
 * 返回值：
 *      0，成功
 *     -1，失败
 */
int maxheap_remove(int data)
{
    int index;
    // 如果"堆"已空，则返回-1
    if(m_size == 0)
        return -;

    // 获取data在数组中的索引
    index = get_index(data);
    if (index==-)
        return -;

    m_heap[index] = m_heap[--m_size];        // 用最后元素填补
    maxheap_filterdown(index, m_size-);    // 从index位置开始自上向下调整为最大堆

    return ;
}

maxheap_remove(data)的作用：从最大堆中删除数据data。
当堆已经为空的时候，删除失败；否则查处data在最大堆数组中的位置。找到之后，先用最后的元素来替换被删除元素；然后通过下调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。

该"示例的完整代码"以及"最小堆的相关代码"，请参考下面的二叉堆的实现。

二叉堆的C实现(完整源码)

二叉堆的实现同时包含了"最大堆"和"最小堆"，它们是对称关系；理解一个，另一个就非常容易懂了。

二叉堆(最大堆)的实现文件(max_heap.c)

 /**
  * 二叉堆(最大堆)
  *
  * @author skywang
  * @date 2014/03/07
  */

 #include <stdio.h>
 #include <stdlib.h>

 #define LENGTH(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )

 static int m_heap[];        // 数据
 static int m_capacity=;    // 总的容量
 static int m_size=;        // 实际容量(初始化为0)

 /*
  * 返回data在二叉堆中的索引
  *
  * 返回值：
  *     存在 -- 返回data在数组中的索引
  *     不存在 -- -1
  */
 int get_index(int data)
 {
     int i=;

     for(i=; i<m_size; i++)
         if (data==m_heap[i])
             return i;

     return -;
 }

 /*
  * 最大堆的向下调整算法
  *
  * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
  *
  * 参数说明：
  *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
  *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
  */
 static void maxheap_filterdown(int start, int end)
 {
     int c = start;          // 当前(current)节点的位置
     int l = *c + ;     // 左(left)孩子的位置
     int tmp = m_heap[c];    // 当前(current)节点的大小

     while(l <= end)
     {
         // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
         if(l < end && m_heap[l] < m_heap[l+])
             l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[l+1]
         if(tmp >= m_heap[l])
             break;        //调整结束
         else
         {
             m_heap[c] = m_heap[l];
             c = l;
             l = *l + ;
         }
     }
     m_heap[c] = tmp;
 }

 /*
  * 删除最大堆中的data
  *
  * 返回值：
  *      0，成功
  *     -1，失败
  */
 int maxheap_remove(int data)
 {
     int index;
     // 如果"堆"已空，则返回-1
     if(m_size == )
         return -;

     // 获取data在数组中的索引
     index = get_index(data);
     if (index==-)
         return -;

     m_heap[index] = m_heap[--m_size];        // 用最后元素填补
     maxheap_filterdown(index, m_size-);    // 从index位置开始自上向下调整为最大堆

     return ;
 }

 /*
  * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
  *
  * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
  *
  * 参数说明：
  *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
  */
 static void maxheap_filterup(int start)
 {
     int c = start;            // 当前节点(current)的位置
     int p = (c-)/;        // 父(parent)结点的位置
     int tmp = m_heap[c];        // 当前节点(current)的大小

     while(c > )
     {
         if(m_heap[p] >= tmp)
             break;
         else
         {
             m_heap[c] = m_heap[p];
             c = p;
             p = (p-)/;
         }
     }
     m_heap[c] = tmp;
 }

 /*
  * 将data插入到二叉堆中
  *
  * 返回值：
  *     0，表示成功
  *    -1，表示失败
  */
 int maxheap_insert(int data)
 {
     // 如果"堆"已满，则返回
     if(m_size == m_capacity)
         return -;

     m_heap[m_size] = data;        // 将"数组"插在表尾
     maxheap_filterup(m_size);    // 向上调整堆
     m_size++;                    // 堆的实际容量+1

     return ;
 }

 /*
  * 打印二叉堆
  *
  * 返回值：
  *     0，表示成功
  *    -1，表示失败
  */
 void maxheap_print()
 {
     int i;
     for (i=; i<m_size; i++)
         printf("%d ", m_heap[i]);
 }

 void main()
 {
     int a[] = {, , , , , , , , };
     int i, len=LENGTH(a);

     printf("== 依次添加: ");
     for(i=; i<len; i++)
     {
         printf("%d ", a[i]);
         maxheap_insert(a[i]);
     }

     printf("\n== 最 大 堆: ");
     maxheap_print();

     i=;
     maxheap_insert(i);
     printf("\n== 添加元素: %d", i);
     printf("\n== 最 大 堆: ");
     maxheap_print();

     i=;
     maxheap_remove(i);
     printf("\n== 删除元素: %d", i);
     printf("\n== 最 大 堆: ");
     maxheap_print();
     printf("\n");
 }

二叉堆(最小堆)的实现文件(min_heap.c)

 /**
  * 二叉堆(最小堆)
  *
  * @author skywang
  * @date 2014/03/07
  */

 #include <stdio.h>
 #include <stdlib.h>

 #define LENGTH(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )

 static int m_heap[];
 static int m_capacity=;    // 总的容量
 static int m_size=;        // 实际容量(初始化为0)

 /*
  * 返回data在二叉堆中的索引
  *
  * 返回值：
  *     存在 -- 返回data在数组中的索引
  *     不存在 -- -1
  */
 int get_index(int data)
 {
     int i=;

     for(i=; i<m_size; i++)
         if (data==m_heap[i])
             return i;

     return -;
 }

 /*
  * 最小堆的向下调整算法
  *
  * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
  *
  * 参数说明：
  *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
  *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
  */
 static void minheap_filterdown(int start, int end)
 {
     int c = start;          // 当前(current)节点的位置
     int l = *c + ;     // 左(left)孩子的位置
     int tmp = m_heap[c];    // 当前(current)节点的大小

     while(l <= end)
     {
         // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
         if(l < end && m_heap[l] > m_heap[l+])
             l++;        // 左右两孩子中选择较小者，即m_heap[l+1]
         if(tmp <= m_heap[l])
             break;        //调整结束
         else
         {
             m_heap[c] = m_heap[l];
             c = l;
             l = *l + ;
         }
     }
     m_heap[c] = tmp;
 }

 /*
  * 删除最小堆中的data
  *
  * 返回值：
  *      0，成功
  *     -1，失败
  */
 int minheap_remove(int data)
 {
     int index;
     // 如果"堆"已空，则返回-1
     if(m_size == )
         return -;

     // 获取data在数组中的索引
     index = get_index(data);
     if (index==-)
         return -;

     m_heap[index] = m_heap[--m_size];        // 用最后元素填补
     minheap_filterdown(index, m_size-);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆

     return ;
 }

 /*
  * 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
  *
  * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
  *
  * 参数说明：
  *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
  */
 static void filter_up(int start)
 {
     int c = start;            // 当前节点(current)的位置
     int p = (c-)/;        // 父(parent)结点的位置
     int tmp = m_heap[c];        // 当前节点(current)的大小

     while(c > )
     {
         if(m_heap[p] <= tmp)
             break;
         else
         {
             m_heap[c] = m_heap[p];
             c = p;
             p = (p-)/;
         }
     }
     m_heap[c] = tmp;
 }

 /*
  * 将data插入到二叉堆中
  *
  * 返回值：
  *     0，表示成功
  *    -1，表示失败
  */
 int minheap_insert(int data)
 {
     // 如果"堆"已满，则返回
     if(m_size == m_capacity)
         return -;

     m_heap[m_size] = data;        // 将"数组"插在表尾
     filter_up(m_size);            // 向上调整堆
     m_size++;                    // 堆的实际容量+1

     return ;
 }

 /*
  * 打印二叉堆
  *
  * 返回值：
  *     0，表示成功
  *    -1，表示失败
  */
 void minheap_print()
 {
     int i;
     for (i=; i<m_size; i++)
         printf("%d ", m_heap[i]);
 }

 void main()
 {
     int a[] = {, , , , , , , , };
     int i, len=LENGTH(a);

     printf("== 依次添加: ");
     for(i=; i<len; i++)
     {
         printf("%d ", a[i]);
         minheap_insert(a[i]);
     }

     printf("\n== 最 小 堆: ");
     minheap_print();

     i=;
     minheap_insert(i);
     printf("\n== 添加元素: %d", i);
     printf("\n== 最 小 堆: ");
     minheap_print();

     i=;
     minheap_remove(i);
     printf("\n== 删除元素: %d", i);
     printf("\n== 最 小 堆: ");
     minheap_print();
     printf("\n");
 }

二叉堆的C测试程序

测试程序已经包含在相应的实现文件中了，这里就不再重复说明了。

最大堆(max_heap.c)的运行结果：

== 依次添加:
== 最 大 堆:
== 添加元素:
== 最 大 堆:
== 删除元素:
== 最 大 堆:          

最小堆(min_heap.c)的运行结果：

== 依次添加:
== 最 小 堆:
== 添加元素:
== 最 小 堆:
== 删除元素:
== 最 小 堆:          

PS. 二叉堆是"堆排序"的理论基石。以后讲解算法时会讲解到"堆排序"，理解了"二叉堆"之后，"堆排序"就很简单了。