[cf1083F]The Fair Nut and Amusing Xor

令$c_{i}=a_{i}\oplus b_{i}$，那么也就是要对$c_{i}$执行操作使其变为0

显然有一个贪心的策略，即从左往右，若当前$c_{i}\ne 0$，则执行对$[i,i+k)$异或$c_{i}$的操作，若$i+k\ge n+2$则说明无解

更具体的，定义$p_{i}$为到第$i$个位置上时第$i$个位置上的操作，那么有$p_{i}=p_{i-k}\oplus c_{i-1}\oplus c_{i}$（特别的，$c_{0}=0$，若$i\le 0$则$p_{i}=0$）

解释一下，除去$p_{i-k}$以外，当前所有操作都是$i-1$和$i$一起执行，不难发现这些操作的总影响是$p_{i-k}\oplus c_{i-1}$，初始是$c_{i}$，再异或一下即为当前的值

我们所求的即为$p_{i}$中非0的个数以及判定$p_{i}$（$i\ge n-k+2$）是否存在非0数（即无解）

令$c'_{i}=c_{i}\oplus c_{i-1}$，记第$i$组为模$k$余$i$的$j$（$1\le j\le n$）的$c'_{j}$所构成的序列（$0\le i<k$，不改变相对顺序），每一组显然独立，且对于第$i$组，需要以下两个信息：

1.所有数异或的结果，若存在$i\not\equiv n-k+1(mod\ k)$且结果不为0，则无解

2.前缀异或和中非0数的个数，这个即为答案

对于第一个修改可以很容易支持（维护0的个数），对于第二个直接记录前缀异或和，那么修改即支持后缀异或的操作以及统计非0的个数，也就是全部减去0的个数

再对每一组内部分块，设块大小为$K$，对于每一个块维护桶以及修改懒标记，考虑复杂度：

时间复杂度为$o((\frac{n}{K}+K)q)$，取$K=\sqrt{n}$即为$o(q\sqrt{n})$

空间复杂度为$o(\frac{2^{14}n}{K})$，在最优时间复杂度的取值下可以接受

另外还有一个特殊情况，当$k$较大时每一个块的大小无法达到$K$（如$k=n$时空间会退化为$o(2^{14}n)$），更具体的，当$k>\sqrt{n}$，对每一个块暴力处理，复杂度为$o(\frac{n}{k}q)$，与之前相同

其他情况下，即使每一组恰好多出一个大小为1的块，也就至多多$\sqrt{n}$个块，并没有太大影响

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 200005
 4 #define NN 1005
 5 int n,k,q,K,x,y,sp,flag,ans_sum,a[N],b[N],cc[N],c[N],len[N],check[N],ans[N];
 6 int bl[N],id[NN][NN],tag[N],tot[NN][(1<<14)];
 7 char s[11];
 8 void add(int k){
 9     if (k!=sp)flag+=(check[k]>0);
10     ans_sum+=ans[k];
11 }
12 void del(int k){
13     if (k!=sp)flag-=(check[k]>0);
14     ans_sum-=ans[k];
15 }
16 void add(int x,int i){
17     tot[id[x][i/K]][c[i*k+x]]++;
18     if (c[i*k+x]==tag[id[x][i/K]])ans[x]++;
19 }
20 void del(int x,int i){
21     tot[id[x][i/K]][c[i*k+x]]--;
22     if (c[i*k+x]==tag[id[x][i/K]])ans[x]--;
23 }
24 void update(int x,int y){
25     del(bl[x]);
26     check[bl[x]]^=y;
27     int i=(x-bl[x])/k;
28     if (k>K){
29         for(;i<len[bl[x]];i++){
30             if (!c[i*k+bl[x]])ans[bl[x]]--;
31             c[i*k+bl[x]]^=y;
32             if (!c[i*k+bl[x]])ans[bl[x]]++;
33         }
34     }
35     else{
36         for(;(i<len[bl[x]])&&(i%K);i++){
37             del(bl[x],i);
38             c[i*k+bl[x]]^=y;
39             add(bl[x],i);
40         }
41         if (i!=len[bl[x]]){
42             for(;i<len[bl[x]];i+=K){
43                 ans[bl[x]]-=tot[id[bl[x]][i/K]][tag[id[bl[x]][i/K]]];
44                 tag[id[bl[x]][i/K]]^=y;
45                 ans[bl[x]]+=tot[id[bl[x]][i/K]][tag[id[bl[x]][i/K]]];
46             }
47         }
48     }
49     add(bl[x]);
50 }
51 void write(){
52     if (flag)printf("-1\n");
53     else printf("%d\n",n-ans_sum);
54 }
55 int main(){
56     scanf("%d%d%d",&n,&k,&q);
57     K=(int)sqrt(n);
58     for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);
59     for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&b[i]);
60     sp=n%k;
61     for(int i=0;i<n;i++){
62         bl[i]=i%k;
63         len[bl[i]]++;
64         cc[i]=(a[i]^b[i]);
65     }
66     c[0]=cc[0];
67     for(int i=1;i<n;i++)c[i]=(cc[i-1]^cc[i]);
68     for(int i=k;i<n;i++)c[i]=(c[i]^c[i-k]);
69     for(int i=n-k;i<n;i++)check[bl[i]]=c[i];
70     if (k>K){
71         for(int i=0;i<n;i++)ans[bl[i]]+=(c[i]==0);
72     }
73     else{
74         int V=0;
75         for(int i=0;i<k;i++)
76             for(int j=0;j<len[i];j+=K)id[i][j/K]=++V;
77         for(int i=0;i<n;i++)add(bl[i],(i-bl[i])/k);
78     }
79     for(int i=0;i<k;i++)add(i);
80     write();
81     for(int i=1;i<=q;i++){
82         scanf("%s%d%d",s,&x,&y);
83         x--;
84         if (s[0]=='a'){
85             update(x,(a[x]^y));
86             if (x<n-1)update(x+1,(a[x]^y));
87             a[x]=y;
88         }
89         else{
90             update(x,(b[x]^y));
91             if (x<n-1)update(x+1,(b[x]^y));
92             b[x]=y;
93         }
94         write();
95     }
96 }