How to proof RSA

欧拉函数 ：
欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 。

完全余数集合：
定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Zn| ＝φ(n) 。

有关性质：
对于素数 p ，φ(p) = p -1 。
对于两个不同素数 p， q ，它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1) 。
这是因为 Zn = {1, 2, 3, ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ， 则 φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) 。

欧拉定理 ：
对于互质的正整数 a 和 n ，有 a^φ(n) ≡ 1 mod n 。

证明：
( 1 ) 令 Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} ， S = {a * x1 mod n, a * x2 mod n, ... , a * xφ(n) mod n} ，
则 Zn = S 。
① 因为 a 与 n 互质， xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质， 所以 a * xi 与 n 互质，所以 a * xi mod n ∈ Zn 。
② 若 i ≠ j ， 那么 xi ≠ xj，且由 a, n互质可得 a * xi mod n ≠ a * xj mod n （消去律）。

( 2 ) a^φ(n) * x1 * x2 *... * xφ(n) mod n
≡ (a * x1) * (a * x2) * ... * (a * xφ(n)) mod n
≡ (a * x1 mod n) * (a * x2 mod n) * ... * (a * xφ(n) mod n) mod n
≡ x1 * x2 * ... * xφ(n) mod n
对比等式的左右两端，因为 xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质，所以 a^φ(n) ≡ 1 mod n （消去律）。
注：
消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，则 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。

费马定理 ：
若正整数 a 与素数 p 互质，则有 ^ap - 1 ≡ 1 mod p 。
证明这个定理非常简单，由于 φ(p) = p -1，代入欧拉定理即可证明。