fjnu2019第二次友谊赛 F题

### 题目链接 ###

题目大意：

一开始手上有 z 个钱币，有 n 天抉择，m 种投资方案，在每天中可以选择任意种投资方案、任意次地花费 x 个钱币（手上的钱币数不能为负），使得在 n 天结束后，获得 y 个钱币。

其次，在每天结束后，会根据自己手上所具有的节点数来获得一些钱币补偿，设当天结束后所拥有 x 个钱币，那么将获得 f(x) 个钱币，若 x > k ，则默认为 0 。保证 f[0]~f[k] 单调不增。

这题的原题：博客连接 ，只是一开始手上的钱数不同而已。

分析：

1、将全过程分为 n 天，在 dp 枚举每天的状态时，先处理当天一开始所拥有的钱币数（即上一天结束后手上的钱数），再进行当天的投资。所以我们将当天投资结束后的补偿状态在下一天的早上进行转移，而不是在当天结束后进行状态转移。

2、故设 dp[i][j] 表示在第 i 天投资完之后（当天还未获得补偿），在手上拥有 j 个钱币时，在 n 天结束后所获得的返还的最大钱币总数。

3、那么对于每一天的一开始钱币数是由上一天补偿之后而转移过来的，由于补偿只会在有剩下 0 ~ k 个钱币时才会发生 （即 手上钱币数为 0 ~ k 时才可能获得补偿），故在每天开始前需要遍历上一天手中剩下的钱币数，获得一定的补偿之后，成为今天一开始的钱币数。

4、获得当天的钱币数后，开始进行今天的投资状态转移。由于投资的数量为任意次，故为完全背包的转移。

5、若对于当天投资结束后手上有 j 元时的状态（ 即 dp[i][j] ），它必从当天投资一开始的手上钱币为 （ j + 投资成本 ）时，花费投资成本后转移而来。故若设投资成本为 w ，最后一天返还 v ，则有 dp[i][j] = dp[i][j + w] + v ，完全背包取最大值即可。

6、由于一开始有钱币数，而按上面所述，第一天一开始不能从上一天剩余钱币数上转移，故第一天需要单独拿出来先处理。

7、初始化问题：按理这题 dp 需要求最大值，全部初始化为 0 才对，但是需要保证本题的实际意义——需要从第一天手上 z 个钱币时转移，故需要初始化全部为负无穷，然后将dp[1][z] 赋值为 0 ，表明 dp 转移时，必须从第一天手上有 z 个钱币时转移而来。

8、由于我们将第一天枚举单独拿出来了，即意味着求的所有状态都必须在第一天买东西才会被转移到第二天（即第一天啥都不买时，这个状态不会被传递下去），然后再进行下面的每天转移。故我们求答案时，还需要判断是否 n 天啥都不投资的钱币会更多（意思是如果第一天啥都不买，最大值不可能轮到第二天才开始买）。

注意点：

1、若按上述这样直接做的话，复杂度接近 n³ * k （k 为常数），此题数据将会有 3000MS （当然出题人良心放宽时限）。

2、若要降低时间复杂度，需要知道完全背包去掉枚举方案个数的原理。这个原理其实是当前 dp[i][j] 从本层之前已更新过的状态转移过来（详细则自己百度或群里问）。

3、此题与普通完全背包降维不同的是，分析 dp 转移方程，发现他是从后往前转移的 （即 dp[i][j] 中的 j 从 j + w 上转移而来），优化时，需要反向枚举背包容量。

无优化代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
int z,N,M,K;
int dp[][];
int f[];
struct Goods{
    int a,b;
}A[];
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&z,&N,&M,&K);
    for(int i=;i<=K;i++) scanf("%d",&f[i]);
    for(int i=;i<=M;i++) scanf("%d%d",&A[i].a,&A[i].b);
    memset(dp,0x80,sizeof(dp));
    dp[][z]=;
    for(int w=;w<=M;w++){
        for(int j=A[w].a;j<=;j++){
            for(int k=;k<=j/A[w].a;k++){
                dp[][j-k*A[w].a]=max(dp[][j-k*A[w].a],dp[][j]+k*A[w].b);
            }
        }
    }
    for(int i=;i<=N;i++){
        for(int j=;j<=K;j++) dp[i][j+f[j]]=max(dp[i][j+f[j]],dp[i-][j]);
        for(int w=;w<=M;w++){
            for(int j=A[w].a;j<=;j++){
                for(int k=;k<=j/A[w].a;k++){
                    dp[i][j-k*A[w].a]=max(dp[i][j-k*A[w].a],dp[i][j]+k*A[w].b);
                }
            }
        }
    }
    int ans=z;
    for(int i=;i<=;i++) ans=max(ans,dp[N][i]+i+f[i]);
    printf("%d\n",ans);
}

优化代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
int z,N,M,K;
int dp[][];
int f[];
struct Goods{
    int a,b;
}A[];
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&z,&N,&M,&K);
    for(int i=;i<=K;i++) scanf("%d",&f[i]);
    for(int i=;i<=M;i++) scanf("%d%d",&A[i].a,&A[i].b);
    memset(dp,0x80,sizeof(dp));
    dp[][z]=;
    for(int w=;w<=M;w++){
        for(int j=;j>=A[w].a;j--){
            dp[][j-A[w].a]=max(dp[][j-A[w].a],dp[][j]+A[w].b);
        }
    }
    for(int i=;i<=N;i++){
        for(int j=;j<=K;j++) dp[i][j+f[j]]=max(dp[i][j+f[j]],dp[i-][j]);
        for(int w=;w<=M;w++){
            for(int j=;j>=A[w].a;j--){
                dp[i][j-A[w].a]=max(dp[i][j-A[w].a],dp[i][j]+A[w].b);
            }
        }
    }
    int ans=z;
    for(int i=;i<=;i++) ans=max(ans,dp[N][i]+i+f[i]);
    printf("%d\n",ans);
}