LOJ6587 WF2019 交通堵塞 CRT、bitset

传送门

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首先设\(P = lcm(r_i + g_i)\)，因为\(P \mid 2019!\)，所以在\([0,2019!]\)里随机实数相当于在\([0,2019!)\)随机实数，相当于在\([0,P)\)内随机整数。

需要求出被每扇门关住的概率，不妨算出通过前若干扇门的概率后差分。求出通过前\(i\)扇门的概率相当于\(i\)个模意义下的区间求交，可以做到\(O(NP)\)但是显然太慢。

考虑：有两个模意义下的方程\(x \in S_1 \mod P\)和\(x \in S_2 \mod Q\)且\(P \perp Q\)，则由中国剩余定理可知，如果同时满足这两个条件的数集是\(x \in S \mod PQ\)，那么\(|S|=|S_1||S_2|\)。这提示着我们两个互质的是独立的，可以独立计算概率。

同时如果\(P \mid Q\)或者\(Q \mid P\)，可以快速使用bitset合并。那么假如所有\(r_i + g_i\)都能写成\(p^k\)的形式就可以快速计算答案。

但实际上并不是这样，所以考虑转化模数。

枚举\(a \in [0,X)\)，将开始时间等于\(t = kX + a(k \in Z)\)的所有时间点放在一起做。在上面的做法中\(X = 1\)，在这里不可行。可以注意到：\(kX + a \in S \mod p\)只和\(k \mod \frac{p}{\gcd(p , X)}\)有关，只需要让所有\(\frac{p}{\gcd(p,X)}\)只存在一个质因子即可满足上面的条件。可以求出最小的\(X = 2520\)。

这样我们可以枚举\(k\)在\([0 , \frac{p}{\gcd(p , X)})\)中的合法值，再按照上面的做法做。

只需要较为精细的实现就可以做到\(O(100XN)\)的复杂度，加上bitset可以获得\(\frac{1}{w}\)的常数优化。

代码