P4128 [SHOI2006]有色图

传送门

数学渣渣看题解看得想死Ծ‸Ծ

首先发现这玩意儿看着很像polya定理

\[L=\frac{1}{|G|}\sum_{i\in G}m^{w(i)}
\]

然而polya定理只能用来求点的置换，边的置换是布星的

于是我们考虑一个点的置换，把它写成若干循环的乘积\((a_1,a_2,..)(b_1,b_2,...)...\)

1.对于不在同一个循环里的点，比方说一条边\((a_1,b_1)\)，那么和它在同一个循环的边有\(((a_1,b_1),(a_2,b_2),...)\)设\(a\)的循环节为\(l_1\)，\(b\)的循环节为\(l_2\)，那么这个边的循环的循环节长度就是\(lcm(l_1,l_2)\)，而总共的边数为\(l_1*l_2\)，那么循环的个数就是\(\frac{l_1*l_2}{lcm(l_1,l_2)}=gcd(l_1,l_2)\)

2.对于在同一个循环内的点，设\(a\)的循环节长度为\(l_1\)

如果\(l_1\)长度为奇数，那么循环的长度就是\(l_1\)，总共有\(C_{l_1}^{2}\)条边，那么循环的个数就是\(\frac{l-1}2\)

如果\(l_1\)长度为偶数，除了上面的情况之外，还有一种很gg的情况就是比方说\((a_1,a_{l_1/2+1})\)的边所在的循环，这个循环的长度是\(l_1/2\)，占的边数为\(l_1/2\)，除此之外其他的情况都是一样的，所以循环的个数就是\(\frac{\frac{l(l-1)}{2}-\frac{l}2}{l}+1=\frac l 2\)

那么，总共的边的置换就是

\[c=\sum_{i=1}^k\lfloor\frac{l_i}{2}\rfloor+\sum_{i=1}^k\sum_{j=i+1}^ngcd(l_i,l_j)
\]

然而如果直接枚举的话复杂度是带一个感叹号的……然而我们只需要知道所有的\(l_i\)就行了，而不需要知道循环里具体是什么数字……所以会T就是我们知道的太多了

于是我们可以枚举\(l_i\)，为了不重不漏保证\(l_i\)不降，先考虑如果\(l_i\)互不相同的话有多少种方案。我们可以这样理解，枚举\(n\)个数字的全排列，然后按\(l_i\)从左到右依次分组，那么这样肯定就是一个置换了……然后对于其中的每一个循环\((a_1,a_2,...,a_l)\)来说，\((a_2,a_3,...,a_l,a_1)...\)之类的其实是跟它一样的，也就是说每个循环有\(l_i\)个同构的，所以要除掉，那么方案数就是

\[S=\frac{n!}{\prod_{i=1}^k l_i}
\]

然而现在问题是\(l_i\)有可能会相等，如果按上面那样考虑的话有可能会有两个\(l_i\)相等的循环被算到不同的里面了……所以还要设\(B_i\)为\(l_j==i\)的个数，然后除掉他们中间排列的个数，那么方案数应该是

\[S=\frac{n!}{\prod_{i=1}^k l_i*B_i!}
\]

然后dfs暴力找\(l_i\)即可

最后就是

\[Ans=Ans+S*m^c
\]

之后就是抄代码了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define fp(i,a,b) for(register int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(register int i=a,I=b-1;i>I;--i)
using namespace std;
const int N=105;
int ans,P,n,m,fac[N],rec[N];
int gcd(int x,int y){return y?gcd(y,x%y):x;}
int ksm(int x,int y){
	int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%P)if(y&1)res=res*x%P;
	return res;
}
void calc(int x){
	int sum=0,mul=1,now=1;
	fp(i,1,x)sum+=rec[i]/2;
	fp(i,1,x)fp(j,i+1,x)sum+=gcd(rec[i],rec[j]);
	fp(i,1,x)(mul*=rec[i])%=P;
	fp(i,2,x){
		if(rec[i]!=rec[i-1])(mul*=fac[now])%=P,now=0;
		++now;
	}(mul*=fac[now])%=P,mul=fac[n]*ksm(mul,P-2)%P;
	(ans+=mul*ksm(m,sum)%P)%=P;
}
void dfs(int k,int x,int s){
	if(!x)calc(k-1);if(x<s)return;
	fp(i,s,x)rec[k]=i,dfs(k+1,x-i,i);
}
signed main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&P),fac[0]=1;
	fp(i,1,n)fac[i]=fac[i-1]*i%P;
	dfs(1,n,1);(ans*=ksm(fac[n],P-2))%=P;
	printf("%lld\n",ans);return 0;
}