2017CodeM复赛

A、配对游戏(loj6191)

题目：

https://loj.ac/problem/6191

分析：

g[i][j]表示前i个位置尽可能合并，合并到最后右边剩下j个>，这样情况的概率

那么g[i][j]=0.5*g[i-1][j-1]+0.5*g[i-1][j+1]

我们能不能根据概率来求期望呢？

emmmmm...有点困难，因为我们只知道每种情况下右边剩余>的个数，却不知道左边剩余<的个数

其实这两个是对称的，所以结果*2就行了

如果没发现这个怎么办呢？那就老老实实设期望

f[i][j]表示在g[i][j]描述背景下剩余个数的期望

那么f[i][j]=0.5*(g[i-1][j-1]+1*f[i-1][j-1])+0.5*(g[i-1][j+1]-1*f[i-1][j+1])

时间复杂度O(n^2)

B、城市网络(loj6192)

题目：

https://loj.ac/problem/6192

分析：

直观想法是要在树上维护一个可撤销的单调栈……但好像不太好弄……换思路

首先可以把询问(u,v,c)转换成u点下挂个点，这个点的点权是c

现在关键问题就是如何快速找到树上每个点的father，这个father是点到根路径上最近的比它大的那个点

可以这样搞，倍增求出fa[i][j]表示i的j级父亲，mx[i][j]表示i向上到j级父亲下面这段点的最大点权

那么就可以根据mx倍增走出每个点的最近父亲，然后对于新的父亲进行倍增

对于每个询问根据深度倍增就行了

时间复杂度O(nlogn)

C、神秘代号(loj6193)

题目：

https://loj.ac/problem/6193

分析：

n个点n条边构成的是一个基环外向树，那个环所表示的模方程正好首位相接，可以解出一个未知数xi的值

然后发现如果确定了一个点的值，那么其它点的值都可以通过bfs得到，并且不会冲突

注意可能有多个基环外向树

D、排列(loj6194)

题目：

https://loj.ac/problem/6194

分析：

我们通过saved的更新过程来考察所有排列

设saved的值按顺序依次是p[1],p[2]....,p[k]

我们首先来考察给定一个顺序p[1],p[2]....p[k]下，符合的排列有多少个

考虑相邻的p[i]与p[i+1]，我们发现p[i]右上方的所有点必须排在p[i+1]后面

于是我们设a[i]表示点p[i]右上方有多少个点（包括自己）

那么符合条件的排列数有多少呢？我们先考虑简单情况，只有两个p[1] p[2]

那么问题相当于求n的带限制排列数，限制是有x-1个数字必须排在数字p[1]之后

考虑这x个数顺序完全固定，那么根据经典结论方案数是n!/x!

但实际上这x个数的后x-1个数是可以排列的 ，所以方案数是n!/x!*(x-1)!=n!/x

那么推广到一般形式，即k>2，发现集合是嵌套的

所以对于一个给定的p[1]....p[k]，方案数就是n!/(a[1]*a[2]*a[3]...*a[k])

于是我们可以得出一个O(n^2)的递推算法

f[i]表示以点i为最后一个saved的方案数

那么f[i]=Σf[j]*inv(a[j]) (j在i的左下方)

很容易发现这个如何优化，这个本质就是求左下方的和

于是第一维排序，第二维树状数组

此题也很容易推广到高维，cdq分治即可