维护直线的线段树：Bzoj1568，Bzoj3938(Uoj88)

有这样一类线段树，可以维护一些直线方程并对每个点求出最大值。

首先先看BZOJ1568，输入给你条直线的方程，你需要对于指定的位置求出最大的函数值。

看到数据范围nlog^2n可做，考虑用线段树去维护。对于每个区间，怎么维护这个区间最高的直线呢？

显然，对于这个区间而言，最高的直线在各个位置都可能是不同的，看起来不是很可做。但是，我们能对于每个长度为1的区间维护最高的直线。

然而这样需要把修改push到底，时间复杂度为线性，所以应该怎么办呢？

考虑标记永久化，对于每个区间，维护其中点最高的直线。然后查询时对于跨越的多个区间的答案取max，这样可以完成查询。

怎么修改呢？考虑在某个区间上有两条直线(一条原来的，一条新加的)，如果一条在整个区间都在另一条之上，那么可以把下面的那条线扔掉，直接返回。否则把中点较高的那一条留在这个区间，另外一条向(这条线)比留下的更高的一个子区间下放。

考虑这样为什么是对的，因为如果一条线在中点比另一条高，那么在某一边区间这条线一定完全“碾压”另一条线，另外一条是没有用的。所以只把另外一条在另一个子区间下放即可（自己画图或脑补一下就明白了）。

这个东西的复杂度是log^2n，因为最多修改logn个区间，对于每个区间最多下放logn层。

然后问题就解决了。

上代码：

BZOJ1568：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define debug cout
 using namespace std;
 const int maxn=5e4+1e2;

 int l[maxn<<],r[maxn<<],lson[maxn<<],rson[maxn<<];
 int mid[maxn<<];
 double k[maxn<<],b[maxn<<];
 int n,m,cnt;

 inline double f(const double &k,const double &b,const int &x) {
     return k * ( x -  ) + b;
 }
 inline void build(int pos,int ll,int rr) {
     l[pos] = ll , r[pos] = rr;
     if( ll == rr )
         return;
     mid[pos] = ( ll + rr ) >> ;
     build(lson[pos]=++cnt,ll,mid[pos]);
     build(rson[pos]=++cnt,mid[pos]+,rr);
 }
 inline void update(int pos,double kk,double bb) {
     if( f(kk,bb,l[pos]) <= f(k[pos],b[pos],l[pos]) && f(kk,bb,r[pos]) <= f(k[pos],b[pos],r[pos]) )
         return;
     if( l[pos] == r[pos] ) {
         k[pos] = kk , b[pos] = bb;
         return;
     }
     if( kk > k[pos] ) {
         if( f(kk,bb,mid[pos]) > f(k[pos],b[pos],mid[pos]) ) {
             update(lson[pos],k[pos],b[pos]);
             k[pos] = kk , b[pos] = bb;
         }
         else
             update(rson[pos],kk,bb);
     }
     else {
         if( f(kk,bb,mid[pos]) > f(k[pos],b[pos],mid[pos]) ) {
             update(rson[pos],k[pos],b[pos]);
             k[pos] = kk , b[pos] = bb;
         }
         else
             update(lson[pos],kk,bb);
     }
 }
 inline double query(int pos,int tar) {
     if( l[pos] == r[pos] )
         return f(k[pos],b[pos],tar);
     if( tar <= mid[pos] )
         return max( f(k[pos],b[pos],tar) , query(lson[pos],tar) );
     else if( tar > mid[pos] )
         return max( f(k[pos],b[pos],tar) , query(rson[pos],tar) );
 }

 int main() {
     static char com[];
     static double qq,kk,bb;
     scanf("%d",&m) , n = 5e4;
     build(cnt=,,n);
     for(int i=,p;i<=m;i++) {
         scanf("%s",com);
         if( *com == 'Q' ) {
             scanf("%d",&p);
             qq = query(,p);
             printf("%d\n",((int)qq)/);
         }
         else {
             scanf("%lf%lf",&bb,&kk);
             update(,kk,bb);
         }
     }
     return ;
 }

UOJ88：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cctype>
 #define lli long long int
 #define debug cout
 using namespace std;
 const int maxn=1e5+1e2,maxq=6e5+1e2;

 lli srt[maxq];

 inline lli f(const lli &k,const lli &b,const int &x) {
     return k * srt[x] + b;
 }

 int lson[maxq<<],rson[maxq<<];
 struct SegmentTree {
     int cnt;
     lli k[maxq<<],b[maxq<<];

     inline void build(int pos,int ll,int rr) {
         if( ll == rr )
             return;
         const int mid = ( ll + rr ) >> ;
         build(lson[pos]=++cnt,ll,mid);
         build(rson[pos]=++cnt,mid+,rr);
     }
     inline void update(int pos,int l,int r,int ll,int rr,lli kk,lli bb) {
         if( rr < l || r < ll )
             return;
         const int mid = ( l + r ) >> ;
         if( ll <= l && r <= rr ) {
             if( f(kk,bb,l) <= f(k[pos],b[pos],l) && f(kk,bb,r) <= f(k[pos],b[pos],r) )
                 return;
             if( l == r ) {
                 k[pos] = kk , b[pos] = bb;
                 return;
             }
             if( kk > k[pos] ) {
                 if( f(kk,bb,mid) > f(k[pos],b[pos],mid) ) {
                     update(lson[pos],l,mid,l,r,k[pos],b[pos]);
                     k[pos] = kk , b[pos] = bb;
                 }
                 else
                     update(rson[pos],mid+,r,ll,rr,kk,bb);
             }
             else {
                 if( f(kk,bb,mid) > f(k[pos],b[pos],mid) ) {
                     update(rson[pos],mid+,r,l,r,k[pos],b[pos]);
                     k[pos] = kk , b[pos] = bb;
                 }
                 else
                     update(lson[pos],l,mid,ll,rr,kk,bb);
             }
         }
         update(lson[pos],l,mid,ll,rr,kk,bb);
         update(rson[pos],mid+,r,ll,rr,kk,bb);
     }
     inline lli query(int pos,int l,int r,int tar) {
         lli ret = f(k[pos],b[pos],tar);
         if( l == r )
             return ret;
         const int mid = ( l + r ) >> ;
         if( tar <= mid )
             ret = max( ret , query(lson[pos],l,mid,tar) );
         else
             ret = max( ret , query(rson[pos],mid+,r,tar) );
         return ret;
     }
 }up,down;

 int s[maxn],st[maxq],ed[maxq];
 lli k[maxq],b[maxq];
 int ope[maxq][];
 int n,m,len=,cnt;
 int v[maxn];

 inline lli getb(int pos,int tme,lli newk) {
     lli alpha = f(k[pos],b[pos],tme);
     return alpha - newk * srt[tme];
 }
 inline void add(int pos,int tt,lli kk,lli bb=) {
     k[++cnt] = kk;
     if( !bb )
         bb = getb(s[pos],tt,kk);
     b[cnt] = bb;
     st[cnt] = tt , ed[cnt] = len;
     if( s[pos] )
         ed[s[pos]] = tt;
     s[pos] = cnt;
 }

 inline void init() {
     sort(srt+,srt++len);
     len = unique(srt+,srt++len) - srt - ;
     for(int i=;i<=m;i++)
         ope[i][] = lower_bound(srt+,srt++len,ope[i][]) - srt;
     for(int i=;i<=n;i++)
         add(i,,,v[i]);
     for(int i=;i<=m;i++)
         if( *ope[i] ) {
             add(ope[i][],ope[i][],ope[i][]);
         }

     up.build(up.cnt=,,len);

     for(int i=;i<=cnt;i++) {
         up.update(,,len,st[i],ed[i],k[i],b[i]);
         down.update(,,len,st[i],ed[i],-k[i],-b[i]);
     }
 }

 inline void work() {
     static lli ans;
     for(int i=;i<=m;i++)
         if( ! *ope[i] ) {
             ans = max( up.query(,,len,ope[i][]) , down.query(,,len,ope[i][]) );
             printf("%lld\n",ans);
         }
 }

 int main() {
     static char com[];
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;i++)
         scanf("%d",v+i);
     for(int i=;i<=m;i++) {
         scanf("%d",&ope[i][]);
         srt[++len] = ope[i][];
         scanf("%s",com);
         if( *com == 'c' ) {
             ope[i][] = ;
             scanf("%d%d",&ope[i][],&ope[i][]);
         }
     }
     init();
     work();

     return ;
 }

上面的代码是无法通过BZOJ3938的，因为少了一个return。

BZOJ3938：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cctype>
 #define lli long long int
 #define debug cout
 using namespace std;
 const int maxn=1e5+1e2,maxq=6e5+1e2;

 lli srt[maxq];

 inline lli f(const lli &k,const lli &b,const int &x) {
     return k * srt[x] + b;
 }

 int lson[maxq<<],rson[maxq<<];
 struct SegmentTree {
     int cnt;
     lli k[maxq<<],b[maxq<<];

     inline void build(int pos,int ll,int rr) {
         if( ll == rr )
             return;
         const int mid = ( ll + rr ) >> ;
         build(lson[pos]=++cnt,ll,mid);
         build(rson[pos]=++cnt,mid+,rr);
     }
     inline void update(int pos,int l,int r,int ll,int rr,lli kk,lli bb) {
         if( rr < l || r < ll )
             return;
         const int mid = ( l + r ) >> ;
         if( ll <= l && r <= rr ) {
             if( f(kk,bb,l) <= f(k[pos],b[pos],l) && f(kk,bb,r) <= f(k[pos],b[pos],r) )
                 return;
             if( l == r ) {
                 k[pos] = kk , b[pos] = bb;
                 return;
             }
             if( kk > k[pos] ) {
                 if( f(kk,bb,mid) > f(k[pos],b[pos],mid) ) {
                     update(lson[pos],l,mid,l,r,k[pos],b[pos]);
                     k[pos] = kk , b[pos] = bb;
                 }
                 else
                     update(rson[pos],mid+,r,ll,rr,kk,bb);
             }
             else {
                 if( f(kk,bb,mid) > f(k[pos],b[pos],mid) ) {
                     update(rson[pos],mid+,r,l,r,k[pos],b[pos]);
                     k[pos] = kk , b[pos] = bb;
                 }
                 else
                     update(lson[pos],l,mid,ll,rr,kk,bb);
             }
             return;
         }
         update(lson[pos],l,mid,ll,rr,kk,bb);
         update(rson[pos],mid+,r,ll,rr,kk,bb);
     }
     inline lli query(int pos,int l,int r,int tar) {
         lli ret = f(k[pos],b[pos],tar);
         if( l == r )
             return ret;
         const int mid = ( l + r ) >> ;
         if( tar <= mid )
             ret = max( ret , query(lson[pos],l,mid,tar) );
         else
             ret = max( ret , query(rson[pos],mid+,r,tar) );
         return ret;
     }
 }up,down;

 int s[maxn],st[maxq],ed[maxq];
 lli k[maxq],b[maxq];
 int ope[maxq][];
 int n,m,len=,cnt;
 int v[maxn];

 inline lli getb(int pos,int tme,lli newk) {
     lli alpha = f(k[pos],b[pos],tme);
     return alpha - newk * srt[tme];
 }
 inline void add(int pos,int tt,lli kk,lli bb=) {
     k[++cnt] = kk;
     if( !bb )
         bb = getb(s[pos],tt,kk);
     b[cnt] = bb;
     st[cnt] = tt , ed[cnt] = len;
     if( s[pos] )
         ed[s[pos]] = tt;
     s[pos] = cnt;
 }

 inline void init() {
     sort(srt+,srt++len);
     len = unique(srt+,srt++len) - srt - ;
     for(int i=;i<=m;i++)
         ope[i][] = lower_bound(srt+,srt++len,ope[i][]) - srt;
     for(int i=;i<=n;i++)
         add(i,,,v[i]);
     for(int i=;i<=m;i++)
         if( *ope[i] ) {
             add(ope[i][],ope[i][],ope[i][]);
         }

     up.build(up.cnt=,,len);

     for(int i=;i<=cnt;i++) {
         up.update(,,len,st[i],ed[i],k[i],b[i]);
         down.update(,,len,st[i],ed[i],-k[i],-b[i]);
     }
 }

 inline void work() {
     static lli ans;
     for(int i=;i<=m;i++)
         if( ! *ope[i] ) {
             ans = max( up.query(,,len,ope[i][]) , down.query(,,len,ope[i][]) );
             printf("%lld\n",ans);
         }
 }

 inline int getint() {
     int ret =  , fix = ;
     char ch = getchar();
     while( !isdigit(ch) )
         fix = ch == '-' ? - : fix,
         ch = getchar();
     while( isdigit(ch) )
         ret = ret *  + ch - '',
         ch = getchar();
     return ret * fix;
 }
 int main() {
     static char com[];
     n = getint() , m = getint();
     for(int i=;i<=n;i++)
         v[i] = getint();
     for(int i=;i<=m;i++) {
         ope[i][] = getint();
         srt[++len] = ope[i][];
         scanf("%s",com);
         if( *com == 'c' ) {
             ope[i][] = ;
             ope[i][] = getint() , ope[i][] = getint();
         }
     }
     init();
     work();

     return ;
 }

对了，今天我似乎达成成就：吓跑小学妹......话说我有那么凶神恶煞吗......