回顾一些较简单的dp题

1.导弹拦截  （+贪心）

　　两问：一个导弹拦截系统最多能拦多少导弹 要拦截所有导弹至少需要多少拦截系统

　　第一问感觉是一个比较巧妙的方法：

　　　　维护一个单调递减的序列 length[] 记录的是拦截导弹的高度

　　　　当下一个导弹小于 length[] 最后一个数（最小的数）则直接把它加在序列后即可

　　　　若大于 则找到序列中比它大的最小的数（二分）然后替换 可以保证最优

　　第二问 就是贪心啊

　　　　当现有的导弹系统的拦截高度都小于当前导弹的高度 则开一个新的系统

　　　　否则找到拦截高度比导弹高度高的最小的系统来拦截

　　　　这里记录系统拦截高度的数组一定是单调递增的无需排序

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int x;
bool f;
int height[],length[],minh[];
int main()
{
    int y=;
    while(scanf("%d",&height[y])==) y++;y--;
    length[]=height[];
    int top=;
    for(int i=;i<=y;i++)
    {
        if(height[i]<=length[top]) length[++top]=height[i];
        else
        {
            int left=,right=top,ans;
            while(left<=right)
            {
                int mid=(left+right)/;
                if(length[mid]<height[i])
                {
                    ans=mid;
                    right=mid-;
                }
                else left=mid+;
            }
            length[ans]=height[i];
        }
    }
    cout<<top<<endl;
    int maxa=;
    for(int i=;i<=y;i++)
    if(maxa<length[i]) maxa=length[i];
    int num=;minh[]=height[];
    for(int i=;i<=y;i++)
    {
        f=;
        for(int j=;j<=num;j++)
         if(height[i]<=minh[j]) {minh[j]=height[i];f=;break;}
        if(f==) minh[++num]=height[i];
    }
    cout<<num;
    return ;
}

2.石子合并 （+断环为链法）

　　区间dp一般套路：枚举起点 枚举区间长度（或终点） 枚举断点 转移

　　注意枚举的顺序要保证由已知推未知

　　很多时候遇到环都可能要断环为链（图论也是这样）

 #include<iostream>
 using namespace std;
 int a[];
 int s[];
 int ans1[][];
 int ans2[][];
 int main()
 {
     int n;
     cin>>n;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         cin>>a[i];
         s[i]=s[i-]+a[i];
         a[i+n]=a[i];
     }
     for(int i=n+;i<=n*;i++)
     s[i]=s[i-]+a[i];
     for(int i=;i<=*n;i++)
     for(int j=;j<=*n;j++)
     if(j!=i) ans2[i][j]=;
     for(int h=;h<=n;h++)
     {
         for(int i=h+n-;i>=h;i--)
         {
             for(int j=i;j<=h+n-;j++)
             {
                 for(int k=i+;k<=j;k++)
                 {
                     ans1[i][j]=max(ans1[i][j],ans1[i][k-]+ans1[k][j]+s[j]-s[i-]);
                     ans2[i][j]=min(ans2[i][j],ans2[i][k-]+ans2[k][j]+s[j]-s[i-]);
                 }
             }
         }
     }
     int maxn,minn=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         maxn=max(maxn,ans1[i][i+n-]);
         minn=min(minn,ans2[i][i+n-]);
     }
     cout<<minn<<endl<<maxn<<endl;
     return ;
 } 

.相似基因

　　现在看起来好像很显然的样子

　　f[i][j] 表示第一个字符串匹配到第i位 第二个字符串匹配到第j位最大的相似度

　　三种情况转移 分别是在第一个，第二个字符串加空碱基 不加空碱基

　　注意初始化

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 int len1,len2,sum;
 char s1[],s2[];
 int a1[],a2[];
 char ch;
 int f[][];
 int s[][]={{,,,,,},
              {,,-,-,-,-},
              {,-,,-,-,-},
              {,-,-,,-,-},
              {,-,-,-,,-},
              {,-,-,-,-,}};
 int change(char x)
 {
     if(x=='A') return ;
     else if(x=='C') return ;
     else if(x=='G') return ;
     else if(x=='T') return ;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&len1);ch=getchar();
     for(int i=;i<=len1;i++) scanf("%c",&s1[i]);
     scanf("%d",&len2);ch=getchar();
     for(int i=;i<=len2;i++) scanf("%c",&s2[i]);
     for(int i=;i<=len1;i++) a1[i]=change(s1[i]);
     for(int i=;i<=len2;i++) a2[i]=change(s2[i]);
     for(int i=;i<=len1;i++)
         for(int j=;j<=len2;j++) f[i][j]=-;
     for(int i=;i<=len1;i++) f[i][]=f[i-][]+s[a1[i]][];
     for(int i=;i<=len2;i++) f[][i]=f[][i-]+s[a2[i]][];
     for(int i=;i<=len1;i++)
     {
         for(int j=;j<=len2;j++)
         {
             f[i][j]=max(f[i][j],f[i-][j]+s[a1[i]][]);
             f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-]+s[a2[j]][]);
             f[i][j]=max(f[i][j],f[i-][j-]+s[a1[i]][a2[j]]);
         }
     }
     printf("%d",f[len1][len2]);
     return ;
 }

4.传纸条（优化维度）

　　四维dp 优化成三维

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 int read()
 {
     int ans=;char c;
     c=getchar();
     while(c<''||c>'') c=getchar();
     while(c>=''&&c<='') {ans=ans*+c-'';c=getchar();}
     return ans;
 }
 int f[][][];
 int a[][];
 int main()
 {
     int m=read(),n=read();
     for(int i=;i<=m;i++)
     for(int j=;j<=n;j++)
     a[i][j]=read();
     for(int k=;k<=n+m;k++)
     {
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             for(int j=;j<=n;j++)
             {
                 if(k-i+<||k-j+<) continue;
                 f[k][i][j]=max(max(max(f[k-][i][j],f[k-][i-][j]),f[k-][i][j-]),f[k-][i-][j-]);
                 f[k][i][j]+=a[k-i][i]+a[k-j][j];
                 if(i==j) f[k][i][j]-=a[k-i][i];
             }
         }
     }
     cout<<f[m+n][n][n];
     return ;
 } 

5.花店橱窗布置

　　这一题要输出最优方案 所以f[i][j]表示的是前i束花放在前j个瓶子里 且第i束花放在第j个瓶子里的最大美学值

 #include<iostream>
 using namespace std;
 int a[][];  //a[i][j] 第i束花放在第j个花瓶中的美学值
 int b[][];  //b[i][j] 前i束花放在前j个花瓶中的最大美学值
 int c[][],d[];
 int main()
 {
     int f,v;
     cin>>f>>v;
     for(int i=;i<=f;i++)
     for(int j=;j<=v;j++)
     cin>>a[i][j];
     //for(int i=1;i<=v-f+1;i++) b[1][i]=a[1][i];
     for(int i=;i<=f;i++)
     for(int j=;j<=v;j++)
     b[i][j]=-;
     /*如果b数组中初始值都为0
     那么当第一束花放在前几个花瓶中美学值为负数时就会出错;
     或：直接初始化第一束花放在前几个花瓶中的美学值（前面被注释掉的）
     但注意此时后面一个循环的i从2开始*/ 

     for(int i=;i<=f;i++)
     for(int j=i;j<=v-f+i;j++) //j<=v-f+i!!!
     for(int k=i-;k<=j-;k++)
     {
         if(b[i][j]<b[i-][k]+a[i][j])
         {
             b[i][j]=b[i-][k]+a[i][j];
             c[i][j]=k;
         }
     }
     int maxn=-,k;
     for(int i=f;i<=v;i++)
     {
         if(b[f][i]>maxn)
         {
             maxn=b[f][i];
             k=i;
         }
     }
     cout<<maxn<<endl;
     for(int i=;i<=f;i++)
     {
         d[i]=k;
         k=c[f-i+][k];
     }
     for(int j=f;j>=;j--) cout<<d[j]<<" ";
     return ;
 }

6.编辑距离

　　和3类似

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 char a[],b[];
 int f[][];
 int main()
 {
     int m,n,i,j;
     scanf("%s%s",a,b);
     m=strlen(a);n=strlen(b);
     for(int i=m+;i>=;i--) a[i]=a[i-];
     for(int j=n+;j>=;j--) b[j]=b[j-];
     for(i=;i<=m;i++) f[i][]=i;
     for(j=;j<=n;j++) f[][j]=j;
     for(i=;i<=m;i++)
     {
         for(j=;j<=n;j++)
         {
             if(a[i]==b[j]) f[i][j]=f[i-][j-];
             else
             {
                 f[i][j]=min(min(f[i-][j-],f[i-][j]),f[i][j-])+;
             }
         }
     }
     cout<<f[m][n];
     return ;
 }

7.乘积最大

　　f[i][j] 表示到第i位数已经加了j个乘号的最大乘积

　　加高精有点麻烦啊

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<string>
 #define rg register
 #define M 110
 using namespace std;
 int read()
 {
   int x=,y=;char c;
   c=getchar();
   while(c<''||c>'') {if(c=='-') y=-;c=getchar();}
   while(c>=''&&c<='') {x=(x<<)+(x<<)+c-'';c=getchar();}
   return x*y;
 }
 string ss;
 int n1,k1;
 int a[M];
 struct node
 {
   int s[M];
   int len;
 }f[][M];
 node calc(node x,int l,int r)
 {
   node x1,y1;y1.len=r-l+;
   int len1=x.len,len2=y1.len,len=len1+len2-;
   memset(x1.s,,sizeof(x1.s));
   memset(y1.s,,sizeof(y1.s));
   for(rg int i=r;i>=l;i--) y1.s[r-i+]=a[i];
   for(rg int i=;i<=len1;i++)
     for(rg int j=;j<=len2;j++)
       x1.s[i+j-]+=x.s[i]*y1.s[j];
   for(rg int i=;i<=len;i++)
     {
       x1.s[i+]+=x1.s[i]/;
       x1.s[i]%=;
     }
   if(x1.s[len+]) len++;
   x1.len=len;
   return x1;
 }
 node cmp(node x,node y)
 {
   int len1=x.len,len2=y.len;
   if(len1<len2) return y;
   if(len1>len2) return x;
   for(rg int i=len1;i>=;i--)
     {
       if(x.s[i]>y.s[i]) return x;
       if(x.s[i]<y.s[i]) return y;
     }
   return y;
 }
 int main()
 {
   n1=read();k1=read();
   cin>>ss;
   for(int i=;i<=n1;i++) a[i]=ss[i-]-'';
   for(int i=;i<=n1;i++)
     for(int j=i;j>=;j--)
       f[][i].s[++f[][i].len]=a[j];
   for(int i=;i<=n1;i++) //前i个数
     {
       int maxn=min(i-,k1);
       for(int k=;k<=maxn;k++)//k个乘号
       for(int j=k;j<i;j++)//第k个乘号放哪
       f[k][i]=cmp(f[k][i],calc(f[k-][j],j+,i));
     }
    for(int i=f[k1][n1].len;i>=;i--)
     printf("%d",f[k1][n1].s[i]);
       return ;
 }