【codeforces】【比赛题解】#915 Educational CF Round 36

虽然最近打了很多场CF，也涨了很多分，但是好久没写CF的题解了。

前几次刚刚紫名的CF，太伤感情了，一下子就掉下来了，不懂你们Div.1。

珂学的那场我只做了第一题……悲伤。

这次的Educational Round打的还可以，虽然吧没有涨分（因为我是紫色的啊）。

做了前4题，后面3题也比较简单，陆续也做完了。

所以心情好，来写一篇题解！

【A】花园

题意：

长度为\(k\)的线段，用若干个长度为\(a_i\)的线段，正好覆盖。（\(a_i|k\)）

给定\(n\)个\(a_i\)，求出最小的\(k/a_i\)，前提是\(a_i|k\)。

题解：

大模拟。

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<string>
 #include<cstdio>
 #include<vector>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 #include<set>
 #include<map>
 #define ll long long
 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
 #define dF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
 #define dF2(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);--i)
 #define eF(i,u) for(int i=h[u];i;i=nxt[i])
 using namespace std;
 const int INF=0x3f3f3f3f;
 inline int Gcd(int X,int Y){return Y?Gcd(Y,X%Y):X;}
 inline int Max(int X,int Y){return X<Y?Y:X;}
 inline int Min(int X,int Y){return X<Y?X:Y;}
 inline ll Max(ll X,ll Y){return X<Y?Y:X;}
 inline ll Min(ll X,ll Y){return X<Y?X:Y;}
 int n,k,x;
 int ans=;
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&k);
     while(n--) {scanf("%d",&x); if(k%x==) ans=Min(ans,k/x);}
     printf("%d",ans);
     return ;
 }

【B】浏览器

题意：

看样例解释猜题意。

对于浏览器顶部的标签，你有这样的操作：关闭这个标签左/右侧的所有标签，把鼠标移到左/右一个标签。

给定标签数目\(n\)，鼠标现在所在的标签\(p\)，问你留下标签区间\([l,r]\)的最少操作次数。

题解：

大模拟，注意看左边/右边到底有没有标签。

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<string>
 #include<cstdio>
 #include<vector>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 #include<set>
 #include<map>
 #define ll long long
 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
 #define dF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
 #define dF2(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);--i)
 #define eF(i,u) for(int i=h[u];i;i=nxt[i])
 using namespace std;
 const int INF=0x3f3f3f3f;
 inline int Gcd(int X,int Y){return Y?Gcd(Y,X%Y):X;}
 inline int Max(int X,int Y){return X<Y?Y:X;}
 inline int Min(int X,int Y){return X<Y?X:Y;}
 inline ll Max(ll X,ll Y){return X<Y?Y:X;}
 inline ll Min(ll X,ll Y){return X<Y?X:Y;}
 inline int Abs(int X){return X<?-X:X;}
 int n,p,l,r;
 int main(){
     scanf("%d%d%d%d",&n,&p,&l,&r);
     if(l==&&r==n){puts("");return ;}
     if(l==){printf("%d",Abs(p-r)+);return ;}
     if(r==n){printf("%d",Abs(p-l)+);return ;}
     printf("%d",Min(Abs(p-r),Abs(p-l))+r-l+);
     return ;
 }

【C】数位重排

题意：

给定两个数\(a,b\)，求出把\(a\)在十进制下数位重排后不超过\(b\)的最大数，不能有前导零。

题解：

暴力DFS。

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<string>
 #include<cstdio>
 #include<vector>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 #include<set>
 #include<map>
 #define ll long long
 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
 #define dF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
 #define dF2(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);--i)
 #define eF(i,u) for(int i=h[u];i;i=nxt[i])
 using namespace std;
 const int INF=0x3f3f3f3f;
 inline int Gcd(int X,int Y){return Y?Gcd(Y,X%Y):X;}
 inline int Max(int X,int Y){return X<Y?Y:X;}
 inline int Min(int X,int Y){return X<Y?X:Y;}
 inline ll Max(ll X,ll Y){return X<Y?Y:X;}
 inline ll Min(ll X,ll Y){return X<Y?X:Y;}
 ll a,b,aa,bb;
 int ca,cb;
 int oo;
 int use[];
 int bs[];
 int cs[];
 void print(){
     oo=;
 //    puts("!!");
     for(int i=ca;i>=;--i) printf("%d",cs[i]);
 }
 void dfs(int stp,bool deng){
     if(stp==) {print(); return;}
     if(oo) return;
     for(int i=deng?bs[stp]:;i>=;--i){
         if(stp==ca&&i==) continue;
         if(!use[i]) continue;
         use[i]--; cs[stp]=i;
         dfs(stp-,deng?(i==bs[stp]):);
         use[i]++;
     }
 }
 int main(){
     scanf("%lld%lld",&a,&b); aa=a,bb=b;
     while(aa) use[aa%]++,aa/=,++ca; while(bb) bs[cb+]=bb%,bb/=,++cb;
     if(cb>ca){
         for(int i=;i>=;--i) while(use[i]) use[i]--,printf("%d",i);
         return ;
     }
     dfs(ca,);
     return ;
 }

【D】几乎无环图

题意：

给定一个有向图，问能否删掉一条边后，这个图变成无环图。\(2\leq n\leq 500,1\leq m\leq min(n(n-1),1000000)\)

题解：

先找到一个环（找不到就YES）。

找环用DFS/拓扑排序，我写的时候脑子不好，用了恶心的DFS。

这个环上最多\(n\)条边，对每条边都试一次，看看还有没有环。

为什么要先找到一个环？

拓扑排序/DFS的复杂度是\(O(n+m)\)的。

那么如果直接对每条边试着删除的话，总复杂度\(O((n+m)^2)\)，就T飞了。

先找到一个环的话，总复杂度\(O(n(n+m))\)，能过。

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<string>
 #include<cstdio>
 #include<vector>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 #include<set>
 #include<map>
 #define ll long long
 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
 #define dF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
 #define dF2(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);--i)
 #define eF(i,u) for(int i=h[u];i;i=nxt[i])
 using namespace std;
 const int INF=0x3f3f3f3f;
 inline int Gcd(int X,int Y){return Y?Gcd(Y,X%Y):X;}
 inline int Max(int X,int Y){return X<Y?Y:X;}
 inline int Min(int X,int Y){return X<Y?X:Y;}
 inline ll Max(ll X,ll Y){return X<Y?Y:X;}
 inline ll Min(ll X,ll Y){return X<Y?X:Y;}
 int n,m;
 int h[],nxt[],to[],tot;
 inline void ins(int x,int y){nxt[++tot]=h[x];to[tot]=y;h[x]=tot;}
 int used[],ret[];
 int o,oo,ooo;
 int stk[],top,pos[];
 int fk[][];
 bool use[];
 int cnt;
 void dfs(int u){
 //    printf(" u: %d\n",u);
     used[u]=cnt; stk[++top]=u; pos[u]=top;
     eF(i,u){
         if(used[to[i]]==) dfs(to[i]);
         else{if(used[to[i]]==cnt&&ret[to[i]]==){/*printf("error : %d -> %d\n",u,to[i]);*/o=pos[to[i]]; return;}}
         if(o) return;
     } --top; ret[u]=;
 }
 void dfs2(int u){
 //    printf(" u: %d\n",u);
     used[u]=cnt;
     eF(i,u) if(!use[i]){
 //        printf("%d -> %d\n",u,to[i]);
         if(used[to[i]]==) dfs2(to[i]);
         else{if(used[to[i]]==cnt&&ret[to[i]]==){/*printf("error : %d -> %d\n",u,to[i]);*/ooo=; return;}}
         if(ooo) return;
     } ret[u]=;
 }
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     if(m->n*(n-)/) {puts("NO"); return ;}
     if(m<=) {puts("YES"); return ;}
     int x,y;
     F(i,,m) scanf("%d%d",&x,&y), ins(x,y), fk[x][y]=tot;
     F(i,,n){
         o=; top=; cnt=i;
         if(!used[i]) dfs(i);
         if(o) {oo=; break;}
     }
     if(!oo) {puts("YES"); return ;}
 //    F(i,o,top)
 //        printf(",%d",stk[i]); puts("");
     F(i,o,top){
 //        printf(" %d\n",stk[i]);
         memset(used,,sizeof used);
         memset(ret,,sizeof ret);
         ooo=;
         if(i!=top) use[fk[stk[i]][stk[i+]]]=;
         else use[fk[stk[i]][stk[o]]]=;
         F(j,,n){
             cnt=j;
             if(used[j]==) dfs2(j);
 //            printf("%d %d %d\n",j,used[j],ooo);
 //            puts("====");
             if(ooo) break;
         }
         if(!ooo) {puts("YES"); return ;}
         if(i!=top) use[fk[stk[i]][stk[i+]]]=;
         else use[fk[stk[i]][stk[o]]]=;
     } puts("NO");
     return ;
 }

【E】体育课

题意：

震惊，Alex发现自己虽然是个ACMer，但是他还是得参加体育期末考！【多么的讽刺啊……】

Alex要算出自己到期末的\(n\)天中，还有多少天能上体育课？

可惜学校时常更改一段时间的有/无上课的状态，可能把一整段区间都变成不上课或者上课。

你需要算出每一次更改后的答案。\(1\leq n\leq 10^9,1\leq q\leq 3\cdot 10^5\)。

题解：

离散化，线段树，没什么好说的。

 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
 using namespace std;
 int n,q;
 int x[],y[],opt[];
 int sq[],cnt;
 int siz[];
 int sz[],dat[],lzy[];
 void build(int i,int l,int r){
     if(l==r) {sz[i]=siz[l]; return;}
     int mid=l+r>>;
     build(i<<,l,mid), build(i<<|,mid+,r);
     sz[i]=sz[i<<]+sz[i<<|];
 }
 void init(){
     scanf("%d%d",&n,&q);
     F(i,,q) scanf("%d%d%d",x+i,y+i,opt+i), sq[++cnt]=x[i]-, sq[++cnt]=y[i];
     sort(sq+,sq+cnt+);
     int Cnt=cnt, lst=-; cnt=;
     F(i,,Cnt) if(sq[i]!=lst) sq[++cnt]=sq[i], lst=sq[i];
     F(i,,cnt-) siz[i]=sq[i+]-sq[i];
     F(i,,q) x[i]=lower_bound(sq+,sq+cnt+,x[i]-)-sq, y[i]=lower_bound(sq+,sq+cnt+,y[i])-sq-;
     cnt--;
 }
 inline void pushdown(int i){
     if(lzy[i]==) dat[i<<]=sz[i<<], dat[i<<|]=sz[i<<|], lzy[i<<]=lzy[i<<|]=;
     if(lzy[i]==) dat[i<<]=dat[i<<|]=, lzy[i<<]=lzy[i<<|]=;
     lzy[i]=;
 }
 void M(int a,int b,int i,int l,int r,int typ){
     if(a<=l&&r<=b) {dat[i]=(typ==?(sz[i]):); lzy[i]=typ; return;}
     if(r<a||b<l) return;
     pushdown(i);
     int mid=l+r>>;
     M(a,b,i<<,l,mid,typ), M(a,b,i<<|,mid+,r,typ);
     dat[i]=dat[i<<]+dat[i<<|];
 }
 int main(){
     init();
     build(,,cnt);
     F(i,,q){
         if(opt[i]==) M(x[i],y[i],,,cnt,);
         else M(x[i],y[i],,,cnt,);
         printf("%d\n",n-dat[]);
     }
     return ;
 }

【F】海棠数组树的失衡度

题意：

给你一棵树，节点有权值，计算\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^nI(i,j)\)。

\(I(i,j)\)表示\(i\)到\(j\)的路径上的最大点权-最小点权。

题解：

考虑最大最小分开计算，最后最大减最小。

以最大点权为例，如何计算？

假设这个点是\(x\)，考虑计算与\(x\)直接或间接联通的点中，到\(x\)的路径中的点权都不比\(x\)大的点。

通过这些点的个数来计算答案。

可以证明，这些点和\(x\)形成的图是一棵树。

我们以\(x\)为根，\(x\)对答案的贡献是\(val_x\cdot[siz_x^2-\sum_{k=x.son}siz_k^2]\)。

那么怎么找到到\(x\)的路径上的点权都不比\(x\)大的点呢？

考虑按照\(val\)为顺序加入点，用并查集维护连通性，就能算答案了。

 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
 #define dF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
 #define eF(i,u) for(int i=h[u];i;i=nxt[i])
 int n,a[],I[],siz[];
 inline bool cmp(int p1,int p2){return a[p1]<a[p2];}
 int h[],nxt[],to[],tot;
 inline void ins(int x,int y){nxt[++tot]=h[x];to[tot]=y;h[x]=tot;}
 bool vis[];
 int fa[];
 int ff(int x){return fa[x]?fa[x]=ff(fa[x]):x;}
 long long ans;
 int main(){
     scanf("%d",&n);
     F(i,,n) scanf("%d",a+i), I[i]=i;
     int x,y,u; long long tmp;
     F2(i,,n) scanf("%d%d",&x,&y), ins(x,y), ins(y,x);
     std::sort(I+,I+n+,cmp);
     F(i,,n){
         siz[u=I[i]]=; tmp=; vis[u]=;
         eF(j,u)
             if(vis[to[j]]) siz[u]+=siz[ff(to[j])], tmp+=1ll*siz[ff(to[j])]*siz[ff(to[j])], fa[ff(to[j])]=u;
         ans+=a[u]*(1ll*siz[u]*siz[u]-tmp);
     }
     memset(fa,,sizeof fa);
     dF(i,n,){
         siz[u=I[i]]=; tmp=; vis[u]=;
         eF(j,u)
             if(!vis[to[j]]) siz[u]+=siz[ff(to[j])], tmp+=1ll*siz[ff(to[j])]*siz[ff(to[j])], fa[ff(to[j])]=u;
         ans-=a[u]*(1ll*siz[u]*siz[u]-tmp);
     }
     printf("%lld",ans>>);
     return ;
 }

【G】互质数组

题意：

我们说数组\(a\)是互质的，当且仅当\(gcd(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n)=1\)。

给定\(k\)，对于每个\(i\;(1\leq i\leq k)\)，求出长度为\(n\)，且其中元素为\(1\)到\(i\)中的正整数的互质数组的个数。

答案对1000000007取模，再通过玄学的方式算出最终答案。

题解：

容斥+数论（莫比乌斯函数）。

考虑容斥，先计算所有的个数，再扣掉元素是\(2\)的倍数的数组的个数，\(3\)的倍数……

\(4\)的倍数不用扣掉，因为\(2\)已经扣掉过了。

但是\(6\)的倍数被\(2\)和\(3\)扣掉了两遍，要加回来。

对于是\(x\)的倍数，容斥系数就是\(\mu(x)\)——\(x\)的莫比乌斯函数。

对于\(i\)的答案，是\(\sum_{j=1}^{i}\mu(j)(\left\lfloor\frac{i}{j}\right\rfloor)^n\)。

对于每个\(i\)，我们使用差分的技巧统计答案。

 #include<cstdio>
 #define Mod 1000000007
 int n,k,Ans;
 bool isnprime[]={,};
 int mobius[]={,};
 int primes[],pnum;
 int ans[];
 int pows[];
 void Mobius(int num){
     for(int i=;i<=num;++i){
         if(!isnprime[i])
             primes[++pnum]=i, mobius[i]=-;
         for(int j=;j<=pnum&&i*primes[j]<=num;++j){
             isnprime[i*primes[j]]=;
             if(i%primes[j]==) break;
             mobius[i*primes[j]]=-mobius[i];
         }
     }
 }
 inline int Pow(int base,int exp){
     int sum=;
     while(exp){
         if(exp&) sum=(long long)sum*base%Mod;
         base=(long long)base*base%Mod; exp>>=;
     } return sum;
 }
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&k);
     Mobius(k);
     pows[]=;
     for(int i=;i<=k;++i) pows[i]=Pow(i,n);
     for(int i=;i<=k;++i){
         if(!mobius[i]) continue;
         for(int j=;j*i<=k;++j){
             ans[j*i]-=mobius[i]*pows[j-];
             ans[j*i]+=mobius[i]*pows[j];
             ans[j*i]=((ans[j*i]%Mod)+Mod)%Mod;
         }
     }
     for(int i=;i<=k;++i) ans[i]=(ans[i-]+ans[i])%Mod, Ans=(Ans+(ans[i]^i))%Mod;
     printf("%d",Ans);
     return ;
 }