2024杭电钉耙1-1003 HDOJ7435 树

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Problem

给一棵根为 1 的有根树，点 \(i\) 具有一个权值 \(A_i\) 。

定义一个点对的值 \(f(u, v)=\max \left(A_u, A_v\right) \times\left|A_u-A_v\right|\) 。

你需要对于每个节点 \(i\) ，计算 \(a n s_i=\sum_{u \in \operatorname{subtree}(i), v \in \operatorname{subtree}(i)} f(u, v)\) ，其中 \(\operatorname{subtree}(i)\) 表示 \(i\) 的子树。

请你输出 \(\oplus\left(a n s_i \bmod 2^{64}\right)\) ，其中 \(\oplus\) 表示 XOR。

\(n \leq 5 \times 10^5, 1 \leq A_i \leq 10^6\)

Solution

先来愉快的推式子。

其实 \(\max \left(A_u, A_v\right) \times\left|A_u-A_v\right|\) 其实就是 \(\max^2-\max \cdot \min\)，这两部分可以分开思考。

对于 \(\max\cdot\min\)，其实就是在 \(i\) 的子树内任选两个点 \(u,v\in \operatorname{subtree}(i)\) 相乘

\[\begin{align}
&\sum_{u} \sum_{v } A_u\times A_v\\
=&\sum_{u }A_u\sum_{v}A_v\\
=&(\sum_{u}A_u)^2
\end{align}
\]

对于 \(\max ^2\)，也就是 \(\sum_{u,v\in \operatorname{subtree}(i)}(\max(A_u,A_v))^2\)，我们需要思考子树合并的情况。

假设我们已经计算了节点 \(u\) 的所有子节点的子树的内部信息，\(v\) 是 \(u\) 的某个儿子，此时我们需要计算

• \(u\) 与 \(\operatorname{subtree}(v)\) 之间的贡献
• \(\operatorname{subtree}(v_i)\) 与 \(\operatorname{subtree}(v_j)\) 之间的贡献（即跨点 \(u\) 的两点之间的贡献）

我们按照以下方式合并的同时计算贡献（以下步骤来自于题解）

• \(\operatorname{subtree}(u)\) 初始为 \(\{u\}\) 。
• 计算 \(\operatorname{subtree}(v)\) 和当前 \(\operatorname{subtree}(u)\) 之间点对的答案。（跨越 \(u\) 节点的部分）。
• 把 \(\operatorname{subtree}(v)\) 子树内的答案直接累加。（不跨越 \(u\) 节点的部分）。
• \(\operatorname{subtree}(u) \leftarrow \operatorname{subtree}(u)+\operatorname{subtree}(v)\) （将 \(v\) 的子树加入到 \(u\) 中）。

我们需要维护两个变量：一个子树内的权值出现次数 \(cnt\) 与权值平方和 \(sum\)。

当前子树 \(\operatorname{subtree}(u)\) 内加入一个权重为 \(w\) 的点，对于答案贡献多少呢？

• 对于 \(\operatorname{subtree}(u)\) 中每个权值小于 \(w\) 的点，贡献 \(1\times w^2\)，总计 \(2\times\sum_{i=1}^{w-1} cnt_i\times w^2\)。

• 对于 \(\operatorname{subtree}(u)\) 中每个权值大于等于 \(w\) 的点（权重为 \(w^\prime\)），贡献 \(1\times {w^\prime}^2\)，总计 \(2\times\sum_{i=w}^{10^6}sum_i\)

对于每个节点，我们开一颗线段树。初始时，每个节点的线段树只包含其本身点权。计算完某个点所有儿子的 \(ans\) 之后，我们将所有儿子的线段树合并到其自己上，同时计算贡献。

Code

#define N 500010
#define M 1000000
ULL a[N];
int n;

namespace Tree
{
	int head[N],nxt[N*2],ver[N*2],f[N];
	int cnt;
	void insert(int x,int y)
	{
		nxt[++cnt]=head[x];
		head[x]=cnt;
		ver[cnt]=y;
	}

};

using Tree::insert;
using Tree::head;
using Tree::nxt;
using Tree::ver;

namespace Seg
{
	struct Node
	{
		int ls,rs,l,r;
		ULL sum,cnt;
#define ls(x) a[x].ls
#define rs(x) a[x].rs
#define l(x) a[x].l
#define r(x) a[x].r
#define sum(x) a[x].sum
#define cnt(x) a[x].cnt
	}a[N*40];
	int cnt;
	int root[N];
	int new_node(int l,int r)
	{
		cnt++;
		l(cnt)=l;
		r(cnt)=r;
		return cnt;
	}

	void add(int &p,int x)
	{
		debug
		if(p==0) p=new_node(1,M);
		if(l(p)==r(p))
		{
			debug
			sum(p)+=(ULL)(x)*x;
			cnt(p)++;
			return;
		}
		int mid=(l(p)+r(p))/2;
		if(x<=mid)
		{
			if(!ls(p)) ls(p)=new_node(l(p),mid);
			add(ls(p),x);
		}
		else
		{
			if(!rs(p)) rs(p)=new_node(mid+1,r(p));
			add(rs(p),x);
		}
		cnt(p)=cnt(ls(p))+cnt(rs(p));
		sum(p)=sum(ls(p))+sum(rs(p));
	}

	int merge(int x,int y,ULL &ans)
	{
		if(!x) return y;
		if(!y) return x;
		if(l(x)==r(x))
		{
			ans+=2*cnt(x)*sum(y);
			sum(x)+=sum(y);
			cnt(x)+=cnt(y);
			return x;
		}

		sum(x)+=sum(y);
		cnt(x)+=cnt(y);

		ans+=2*cnt(ls(x))*sum(rs(y));
		ans+=2*cnt(ls(y))*sum(rs(x));

		ls(x)=merge(ls(x),ls(y),ans);
		rs(x)=merge(rs(x),rs(y),ans);

		return x;
	}

};

using Seg::add;
using Seg::merge;
using Seg::root;

ULL sq[N],ans[N],sum[N];

void dfs(int x,int f)
{
	sum[x]=a[x];
	sq[x]=a[x]*a[x];
	add(root[x],a[x]);
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		int y=ver[i];
		if(y==f) continue;
		dfs(y,x);
		sum[x]+=sum[y];
		sq[x]+=sq[y];
		root[x]=merge(root[x],root[y],sq[x]);
	}
	ans[x]=sq[x]-sum[x]*sum[x];
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cout.precision(10);
	int t=1;
//	cin>>t;
	while(t--)
	{
		cin>>n;
		for(int i=1;i<n;i++)
		{
			int x,y;
			cin>>x>>y;
			Tree::insert(x,y);
			Tree::insert(y,x);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			cin>>a[i];
		}

		dfs(1,0);

		ULL out=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			out^=ans[i];
//			cout<<ans[i]<<" ";
		}
		cout<<out<<endl;

	}
	return 0;
}