LOJ.6060.[2017山东一轮集训Day1/SDWC2018Day1]Set(线性基)

LOJ

BZOJ

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明明做过一道（最初思路）比较类似的题啊，怎么还是一点思路没有。

记所有元素的异或和为\(s\)，那么\(x_1+x_2=x_1+x_1\ ^{\wedge}s\)。

\(s\)是确定的。考虑从高位到低位枚举\(s\)的二进制位。若当前位\(s\)为\(1\)，则\(x_1\)是\(0\)是\(1\)贡献相同；否则\(x_1\)这一位必须是\(1\)（如果能是\(1\)）。这样可以满足\(x_1+x_2\)最大。

对于\(x_1\)最小的要求，就是在\(s\)为\(1\)时，\(x_1\)能取\(0\)就取\(0\)。

这种逐位\(\text{xor}\)的，考虑构造线性基。

原来的线性基是以从高位到低位为优先级的。而现在是，\(s\)为\(0\)的位优先级最高，其次高位优先级最高。

那么在把一个数插入到线性基里时，优先选\(s\)为\(0\)的位插入，然后再去尝试插入\(s\)为\(1\)的位。（如果第一次不能插入进去，说明不会对\(s\)为\(0\)的位产生影响啊，也就不会影响\(x_1+x_2\)最大了）

求\(x_1\)时令\(s\)为\(0\)的位尽量为\(1\)，其次\(s\)为\(1\)的位尽量为\(0\)即可。

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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define BIT 59
#define gc() getchar()
#define MAXIN 500000
//#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;

LL A[N],base[BIT+2];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline LL read()
{
	LL now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
	return now;
}
inline void Insert(LL x,LL s)
{
	for(int i=BIT; ~i; --i)
		if(!(s>>i&1) && x>>i&1)
			if(base[i]) x^=base[i];
			else {base[i]=x; return;}
	for(int i=BIT; ~i; --i)
		if(/*s>>i&1 &&*/ x>>i&1)
			if(base[i]) x^=base[i];
			else {base[i]=x; return;}
}

int main()
{
	const int n=read(); LL s=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i) s^=A[i]=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) Insert(A[i],s);
	LL ans=0;
	for(int i=BIT; ~i; --i) if(!(s>>i&1) && !(ans>>i&1)) ans^=base[i];
	for(int i=BIT; ~i; --i) if(s>>i&1 && ans>>i&1) ans^=base[i];
	printf("%lld\n",ans);

	return 0;
}