[物理学与PDEs]第2章第4节 激波 4.2 熵条件

1.  R.H. 条件仅仅给出了越过激波时的能量守恒定律, 即热力学第一定律; 但客观的流体运动过程还需满足热力学第二定律, 即越过激波是个熵增过程: $$\bex S_1>S_0\quad(0,1\mbox{ 分别表示越过激波前、后状态}), \eex$$ 其等价于

(1)  $u_->u_+$ ($-$, $+$ 分别表示左、右状态);

(2)  $p_1>p_0$ (激波是压缩的);

(3)  Lax 的激波不等式 (熵不等式、熵条件): 对某个 $k\in \sed{1,2,3}$, $$\bex \lm_k(u_+,c_+)<U<\lm_k(u_-,c_-),\quad \lm_{k-1}(u_-,c_)<U<\lm_{k+1}(u_+,c_+). \eex$$ (满足上述 Lax 不等式的称为 $k$ 激波).

2.  对一维气体动力学方程组而言, 容易由 R.H. 条件知其不存在 $2$-激波, 右传播 $1$-激波, 和左传播 $3$-激波.