[物理学与PDEs]第5章第3节 守恒定律, 应力张量

5. 3 守恒定律, 应力张量

5. 3. 1 质量守恒定律

$$\bex \cfrac{\p \rho}{\p t}+\Div_y(\rho{\bf v})=0.  \eex$$

5. 3. 2 应力

1.  弹性体所受荷载中的外力部分有体积力 ${\bf b}$, 表面力 ${\bf \tau}$.

2.  在荷载的作用下, 弹性体发生变形. $M$ 处 ${\bf\nu}$ 方向的应力向量 $$\bex {\bf \sigma} =\lim_{{\bf\nu}\perp\lap S\to 0}\cfrac{\lap {\bf f}}{\lap S}. \eex$$ ${\bf \sigma}$ 的方向一般不是 ${\bf\nu}$ 的方向.

3.  Cauchy 应力原理: ${\bf \sigma}={\bf \sigma}(t,y,{\bf\nu})$, 与 $\lap S$ 的选择无关.

4.  据 Newton 第三定律, $$\bex {\bf \sigma}(t,y,-{\bf\nu})=-{\bf \sigma}(t,y,{\bf\nu}). \eex$$

5. 3. 3 动量守恒定律的积分形式

1.  引理 $$\bex \cfrac{\rd }{\rd t}\int_{G_t} \rho \phi\rd y =\int_{G_t} \phi\cfrac{\rd \phi}{\rd t}\rd y.  \eex$$

2.  动量守恒定律的积分形式 $$\bex \int_{G_t}\rho \cfrac{\rd {\bf v}}{\rd t}\rd y =\int_{S_t} {\bf \sigma}\rd S_t+\int_{G_t} \rho{\bf b}\rd y.  \eex$$

5. 3. 4 动量矩守恒定律的积分形式

动量矩守恒定律的积分形式 $$\bex \int_{G_t} \rho\sex{{\bf y}\times \cfrac{\rd {\bf v}}{\rd t}}\rd y =\int_{S_t} ({\bf y}\times{\bf \sigma})\rd S_t +\int_{G_t}\rho({\bf y}\times {\bf b})\rd y.  \eex$$

5. 3. 5 Cauchy 应力张量

1.  存在二阶张量 ${\bf T}(y)$, 使得 $$\bex {\bf \sigma}({\bf y},{\bf\nu})={\bf T}(y){\bf\nu}.  \eex$$

2.  ${\bf T}({\bf y})$ 称为 Cauchy 应力张量, $t_{ii}\ (i=1,2,3)$ 称为正应力, $t_{ij}\ (i\neq j)$ 称为剪应力.

5. 3. 6 在空间描述下动量守恒定律的微分形式, Cauchy 应力张量的对称性

1.  动量守恒定律的微分形式 $$\bex \rho\cfrac{\rd {\bf v}}{\rd t} -\Div_y{\bf T}-\rho{\bf b}={\bf 0}. \eex$$

2.  $({\bf a}\times {\bf b})_i=\ve_{ijk}a_jb_k$, 其中 $$\bex \ve_{ijk}=\sedd{\ba{lll} 1,&(i,j,k)\ is\ an\ even\ permuatation\ of\ (1,2,3),\\ -1,&(i,j,k)\ is\ an\ odd\ permuatation\ of\ (1,2,3),\\ 0,&others.  \ea} \eex$$

3.  动量矩守恒定律的微分形式等价于 Cauchy 应力张量的对称性: $$\bex t_{ij}=t_{ji},\quad (1\leq i,j\leq 3). \eex$$

5. 3. 7 Piola 应力张量, 物质描述下动量守恒定律的微分形式

1.  引理: 设 $\Omega$ 中 ${\bf x}$ 处的曲面微元 $\rd S_0$ (其单位法向量为 ${\bf n}$) 在变形 ${\bf y}={\bf y}(t,{\bf x})$ 下对应于 $\Omega_t$ 中的曲面微元 $\rd S_t$ (其单位法向量为 ${\bf\nu}$). 那么 $$\bex {\bf\nu}\rd S_t=J{\bf F}^{-T}{\bf n}\rd S_0, \eex$$ 其中 ${\bf F}=(\n_x{\bf y})$, $J=|{\bf F}|$.

2.  动量守恒定律的微分形式 $$\bex \rho_0\cfrac{\p {\bf v}}{\p t} =\Div_x{\bf P}+\rho_0{\bf b}, \eex$$ 其中 ${\bf P}$ 为 Piola 应力张量, 定义为 $$\bex {\bf T}{\bf\nu} \rd S_t={\bf P}{\bf n}\rd S_0.  \eex$$

3.  动量矩守恒定律等价于第二 Piola 应力张量 ${\bf \Sigma}={\bf F}^{-1}{\bf P}$ 为对称张量.