[SDOI2017]序列计数

题目描述

Alice想要得到一个长度为nn的序列，序列中的数都是不超过mm的正整数，而且这nn个数的和是pp的倍数。

Alice还希望，这nn个数中，至少有一个数是质数。

Alice想知道，有多少个序列满足她的要求。

输入输出格式

输入格式：

一行三个数，n,m,pn,m,p。

输出格式：

一行一个数，满足Alice的要求的序列数量，答案对2017040820170408取模。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

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输出样例#1： 复制

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说明

对20\%20%的数据，1\leq n,m\leq1001≤n,m≤100

对50\%50%的数据，1\leq m \leq 1001≤m≤100

对80\%80%的数据，1\leq m\leq 10^61≤m≤106

对100\%100%的数据，1\leq n \leq 10^9,1\leq m \leq 2\times 10^7,1\leq p\leq 1001≤n≤109,1≤m≤2×107,1≤p≤100

时间限制：3s

空间限制：128MB

至少有一个素数的方案=所有方案-没有素数的方案

于是用容斥就变成了简单的dp，先讨论所有方案

令f[i][j]表示i个数，和%p为j的方案数

f[i][j]=∑f[i-1][(j-k+p)%p]*cnt[k]

cnt[k]是1~m中%p等于k的数量

发现显然上式可以写为矩阵

于是用矩阵快速幂就行

然后用欧拉筛把素数筛掉，再做一次

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long lol;
 struct Matrix
 {
   lol a[][];
 }pre,ans1,ans2,Mat1,Mat2;
 lol n,m,p,Mod=;
 long long cnt1[],cnt2[];
 lol tot,pri[];
 bool vis[];
 Matrix operator*(const Matrix a,const Matrix b)
 {
   lol i,j,k;
   Matrix res;
   memset(res.a,,sizeof(res.a));
   for (k=;k<p;k++)
   for (i=;i<p;i++)
     if (a.a[i][k])
     {
       for (j=;j<p;j++)
     {
       res.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
       res.a[i][j]%=Mod;
     }
     }
   return res;
 }
 Matrix qpow1(lol y)
 {lol i;
   Matrix res;
   memset(res.a,,sizeof(res.a));
   for (i=;i<p;i++)
     res.a[i][i]=;
   while (y)
     {
       if (y&) res=res*Mat1;
       Mat1=Mat1*Mat1;
       y=y/;
     }
   return res;
 }
 Matrix qpow2(lol y)
 {lol i;
   Matrix res;
   memset(res.a,,sizeof(res.a));
   for (i=;i<p;i++)
     res.a[i][i]=;
   while (y)
     {
       if (y&) res=res*Mat2;
       Mat2=Mat2*Mat2;
       y=y/;
     }
   return res;
 }
 int main()
 {lol i,j;
   cin>>n>>m>>p;
   cnt1[]++;
   for (i=;i<=m;i++)
     {
       cnt1[i%p]++,cnt1[i%p]%=Mod;
       if (vis[i]==)
     {
       ++tot;
       pri[tot]=i;
     }
       for (j=;j<=tot;j++)
     {
       if (i*pri[j]>m) break;
       vis[i*pri[j]]=;
       if (i%pri[j]==) break;
     }
     }
   cnt2[]++;
   for(i=;i<=m;i++)
     if (vis[i]) cnt2[i%p]++,cnt2[i%p]%=Mod;
   for (i=;i<p;i++)
     {
       for (j=;j<p;j++)
     {
       Mat1.a[i][(i+j)%p]+=cnt1[j]%Mod;
       Mat1.a[i][(i+j)%p]%=Mod;
     }
     }
   for (i=;i<p;i++)
   pre.a[][i]=cnt1[i];
   ans1=qpow1(n-);
     ans1=pre*ans1;
     for (i=;i<p;i++)
     {
       for (j=;j<p;j++)
     {
       Mat2.a[i][(i+j)%p]+=cnt2[j]%Mod;
       Mat2.a[i][(i+j)%p]%=Mod;
     }
     }
     for (i=;i<p;i++)
     pre.a[][i]=cnt2[i];
   ans2=qpow2(n-);
     ans2=pre*ans2;
     cout<<(ans1.a[][]-ans2.a[][]+Mod)%Mod;
 }