games101-2 透视深度插值矫正与抗锯齿分析

透视深度插值矫正与抗锯齿分析

深度插值的差错原因

当投影的图形与投影的平面不平行时，这时进行透视投影，从上图中可以看出，投影平面上的线段时均匀的，但是在原图形上的线段是非均匀的，这只是一个例子，但也可以看出投影会导致图形的变形，在我们利用重心坐标，进行深度插值时原空间中的重心坐标会发生变形，导致我们得到的深度不是正确的，这一点在对纹理坐标进行插值时尤其明显

透视深度插值公式推导

虽然在原空间与投影平面上的三角形可能发生变形，但是它们的重心坐标依然满足一定的关系：

投影平面：

$1 = \alpha^{'} +\beta^{'} +\gamma^{'}$

原空间：

$1 = \alpha +\beta +\gamma$

现在我们只有投影平面上三角形的bounding box中一个个像素点，我们想要得到这个像素点真实的深度值，假设一个像素点真实的深度值为$Z$,三角形三个顶点真实的深度值分别为$Z_{a},Z_{b},Z_{c}$，我们对第一个式子进行恒等变形：

$\frac{Z}{Z} = \frac{Z_{a}}{Z_{a}}\alpha^{'} + \frac{Z_{b}}{Z_{b}}\beta^{'} + \frac{Z_{c}}{Z_{c}}\gamma^{'} $

进一步变换得到：

$Z = (\frac{Z}{Z_{a}}\alpha^{'})Z_{a} + (\frac{Z}{Z_{b}}\beta^{'})Z_{b} + (\frac{Z}{Z_{c}}\gamma^{'})Z_{c}$

我们对照原空间的深度重心插值公式：

$Z = \alpha Z_{a} + \beta Z_{b} + \gamma Z_{c}$

可以得到:

$\alpha = \frac{Z}{Z_{a}}\alpha^{'}$

$\beta = \frac{Z}{Z_{b}}\beta^{'}$

$\gamma = \frac{Z}{Z_{c}}\gamma^{'}$

我们再代入之前的第二个式子：

$1 = \frac{Z}{Z_{a}}\alpha^{'} + \frac{Z}{Z_{b}}\beta^{'} + \frac{Z}{Z_{c}}\gamma^{'}$

两边同时除以$Z$:

$\frac{1}{Z} = \frac{1}{Z_{a}}\alpha^{'} + \frac{1}{Z_{b}}\beta^{'} + \frac{1}{Z_{c}}\gamma^{'} $

我们可以进一步考虑更一般的情况，对任意属性(uv坐标颜色法线等)使用重心坐标进行插值：

$I = \alpha I_{a} + \beta I_{b} + \gamma I_{c}$

$I = Z(\alpha^{'}\frac{I_{a}}{Z_{a}} + \beta^{'}\frac{I_{b}}{Z_{b}} + \gamma^{'}\frac{I_{c}}{Z_{c}} )$

games101中的错误

有了上述理论基础，我们再来看看games101中的实现：

auto[alpha, beta, gamma] = computeBarycentric2D(x, y, t.v);

float w_reciprocal = 1.0/(alpha / v[0].w() + beta / v[1].w() + gamma / v[2].w());

float z_interpolated = alpha * v[0].z() / v[0].w() + beta * v[1].z() / v[1].w() + gamma * v[2].z() / v[2].w();

注意在前面：

auto v = t.toVector4();

games101将一个三维向量拓展为四维向量，理论上一个像素点的坐标应该是(x,y,z,w)，其中x，y代表投影的xy坐标，z代表压缩之后的z值，一般在[-1,1]或者[0,1]或者[n,f]之间，w一般用于存储原空间真实的深度值，但是上述拓展默认将w设置为1，w存储的不是真实的深度值，因此：

float w_reciprocal = 1.0/(alpha / v[0].w() + beta / v[1].w() + gamma / v[2].w());

这一步使用的深度值是错误的

假如是正确的，其实这一步得到的w_reciprocal已经是正确的深度矫正值，也不需要在后面再求z值

但是最终结果我们也没有发现明显的错误，可以认为即使使用错误的深度值，对最终结果也影响不大

msaa与ssaa简要定义

MSAA：多重采样抗锯齿是一种选择性的抗锯齿技术，它在渲染图像时对特定部分进行多次采样。通常，它会对几何边缘周围进行多次采样，以减少锯齿状边缘的出现。

SSAA：超级采样抗锯齿是一种全局的抗锯齿技术，它通过在整个图像上进行更高分辨率的采样，然后缩放到目标分辨率，从而减少锯齿和增强图像的质量。

games101中ssaa的实现

ssaa实现的是更高分辨率的采样，为了实现这一点我们需要为每个采样点都维护深度表与颜色表，在对每个采样点进行覆盖检测以及深度检测之后，将采样点的颜色进行平均，设置为像素点颜色：

for(int x=min_x; x<=max_x; x++) {

        for(int y=min_y; y<=max_y; y++) {

            int eid = get_index(x,y)*4;

            for(int k = 0; k < 4; k++){//遍历像素的每个样本

                if(insideTriangle(x+a[k], y+a[k+1], v.data())){

                   //计算重心坐标

                   auto[alpha, beta, gamma] = computeBarycentric2D(x+a[k],y+a[k+1], t.v);

                   //矫正深度插值

                   float w_reciprocal = 1.0/(alpha / v[0].w() + beta / v[1].w() + gamma / v[2].w());

                   float z_interpolated = alpha * v[0].z() / v[0].w() + beta * v[1].z() / v[1].w() + gamma * v[2].z() / v[2].w();

                   z_interpolated *= w_reciprocal;

                   //如果此时深度值大于当前存储深度值，说明被遮挡了，不做处理

                   if (depth_sample[eid + k] < z_interpolated) {

                       continue;

                   }

                   //反之，更新当前深度值，对采样点进行着色

                    depth_sample[eid + k] = z_interpolated;

                    frame_sample[eid + k] = t.getColor();

                }

            }

            Eigen::Vector3f p;

            p << x, y, 1;

            //平均四个采样点的颜色，简单的线性混合

            Eigen::Vector3f color = (frame_sample[eid] + frame_sample[eid + 1] + frame_sample[eid + 2] + frame_sample[eid + 3])/4;

            set_pixel(p, color);

        }

    }

games101中msaa的实现

msaa与ssaa类似，也是对四个采样点的颜色进行混合，也需要对采样点进行覆盖以及深度检测，不过不同的时，msaa会记录深度的变化，只有在深度发生变化，认为检测到边缘的时候，才会进行shading，并且不需要维护颜色表，减少了时间以及空间开销：

for(int x=min_x; x<=max_x; x++) {

        for(int y=min_y; y<=max_y; y++) {

            //使用msaa方法，统计像素覆盖率

            int eid = get_index(x,y)*4;

            //统计像素的覆盖率与深度变化

            float count_coverage = 0,count_depth = 0;

            for(int k = 0; k < 4; k++){//遍历像素的每个样本

                if(insideTriangle(x+a[k], y+a[k+1], v.data())){

                   auto[alpha, beta, gamma] = computeBarycentric2D(x+a[k],y+a[k+1], t.v);

                   float w_reciprocal = 1.0/(alpha / v[0].w() + beta / v[1].w() + gamma / v[2].w());

                   float z_interpolated = alpha * v[0].z() / v[0].w() + beta * v[1].z() / v[1].w() + gamma * v[2].z() / v[2].w();

                   z_interpolated *= w_reciprocal;

                   //如果该采样点在三角形内，增加覆盖率的计数

                   count_coverage++;

                    if (depth_buf[eid + k] < z_interpolated) {

                       continue;

                    }

                    //如果该采样点的深度发生了变化，说明该像素分布在边缘，需要进行抗锯齿

                    count_depth++;

                    depth_buf[eid + k] = z_interpolated;

                }

            }

            //如果该像素在边缘，需要进行抗锯齿

            if(count_depth > 0){

                int ind = get_index(x,y);

                Eigen::Vector3f p;

                p << x, y, 1;

                //混合颜色

                Eigen::Vector3f color = (count_coverage / 4)*t.getColor() +(1 - count_coverage/4)*frame_buf[ind];

                set_pixel(p, color);

            }

        }

    }