UVA 10003 Cutting Sticks

题意：在给出的n个结点处切断木棍，并且在切断木棍时木棍有多长就花费多长的代价，将所有结点切断，并且使代价最小。

思路：设DP[i][j]为，从i,j点切开的木材，完成切割需要的cost，显然对于所有DP[i][i+1]=0，记w[i][j]为从i,j点切开的木材的长度，因此可以枚举切割点，dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k][j])+w[i][j]，k就是枚举的切割点.

AC代码：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int SIZEN=;
 const int INF=<<;
 int x[SIZEN];
 int dp[SIZEN][SIZEN];
 int w[SIZEN][SIZEN];
 void init()
 {
     memset(dp,-,sizeof(dp));
 }
 int dfs(int l,int r)
 {
     if(dp[l][r]!=-)
         return dp[l][r];
     int ans=INF;
     for(int i=l+; i<r; i++)
     {
         ans=min(ans,dfs(l,i)+dfs(i,r));
     }
     dp[l][r]=ans+w[l][r];
     return dp[l][r];
 }
 void solve(int len)
 {
     int n;
     scanf("%d",&n);
     init();
     for(int i=; i<=n; i++)
         scanf("%d",&x[i]);
     x[]=;
     x[n+]=len;
     for(int i=; i<=n; i++)
         for(int j=i; j<=n+; j++)
             w[i][j]=x[j]-x[i];
     for(int i=; i<=n; i++)
         dp[i][i+]=;
     int ans=dfs(,n+);
     printf("The minimum cutting is %d.\n",ans);
 }
 int main()
 {
     int len;
     while(scanf("%d",&len)!=EOF&&len)
         solve(len);
 }

这道题涉及到一个知识点：区间DP：（转自calmound）

区间动态规划问题一般都是考虑，对于每段区间，他们的最优值都是由几段更小区间的最优值得到，是分治思想的一种应用，将一个区间问题不断划分为更小的区间直至一个元素组成的区间，枚举他们的组合 ，求合并后的最优值。
设F[i,j]（1<=i<=j<=n）表示区间[i,j]内的数字相加的最小代价
最小区间F[i,i]=0（一个数字无法合并，∴代价为0）

每次用变量k（i<=k<=j-1）将区间分为[i,k]和[k+1,j]两段
For p:=1 to n do // p是区间长度，作为阶段。 
for i:=1 to n do // i是穷举的区间的起点
begin
j:=i+p-1; // j是 区间的终点，这样所有的区间就穷举完毕
if j>n then break; // 这个if很关键。
for k:= i to j-1 do // 状态转移，去推出 f[i,j]
f[i , j]= max{f[ i,k]+ f[k+1,j]+ w[i,j] } 
end; 
这个结构必须记好，这是区间动态规划的代码结构。

下面是关于该题的一个优化代码（四边形优化），我还没搞懂，先贴出来吧：

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int SIZEN=;
 const int INF=<<;
 int x[SIZEN];
 int dp[SIZEN][SIZEN];
 int w[SIZEN][SIZEN];
 int s[SIZEN][SIZEN];
 //dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k][j])+w[i][j]
 void init(){
     memset(dp,-,sizeof(dp));
 }
 void work(int n){
     for(int i=;i<=n;i++) dp[i][i+]=;
     for(int i=;i<=n;i++) s[i][i+]=i;
     for(int l=;l<=n+;l++){
         for(int i=;i+l-<=n+;i++){
             int j=i+l-;
             dp[i][j]=INF;
             for(int k=s[i][j-];k<=s[i+][j];k++){
                 int tmp=dp[i][k]+dp[k][j];
                 if(dp[i][j]>tmp){
                     dp[i][j]=tmp;
                     s[i][j]=k;
                 }
             }
             dp[i][j]+=w[i][j];
         }
     }
 }
 void solve(int len){
     int n;
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&x[i]);
     x[]=;x[n+]=len;
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=i;j<=n+;j++)
         w[i][j]=x[j]-x[i];
     work(n);
     /*for(int i=0;i<=n+1;i++){
         for(int j=i+1;j<=n+1;j++) printf("%d ",dp[i][j]);
         printf("\n");
     }
     for(int i=0;i<=n+1;i++){
         for(int j=i+1;j<=n+1;j++)
             printf("%d ",s[i][j]);
         printf("\n");
     }*/
     printf("The minimum cutting is %d.\n",dp[][n+]);
 }
 int main()
 {
     int len;
     while(scanf("%d",&len)!=EOF&&len)
         solve(len);
 }

本篇博文并非出自本人之手，只是做个总结，感谢ACalvin男神的帮助。