标准Trie、压缩Trie、后缀Trie

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1.Trie导引

Trie树是一种基于树的数据结构，又称单词查找树、前缀树，是一种哈希树的变种。应用于字符串的统计与排序，经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。用于存储字符串以便支持快速模式匹配，主要应用在信息检索中，Trie支持的主要查询操作是模式匹配和前缀匹配。Trie树可以看着是一个确定有限状态自动机，有限状态自动机另一篇博文字符串模式匹配算法——BM、Horspool、Sunday、KMP、KR、AC算法一网打尽 有介绍。

2.标准Trie

令S是取自字母表∑的s个集合，满足S中不存在一个串是另一个串的前缀。S的一个标准Trie（standard trie）是一颗有序书T，满足如下性质：

• 除了根之外，T中的每个结点标记有∑的一个字符。
• T中一个内部结点的子结点的次序有字母表∑上的规范次序确定。
• T有s个外部结点（叶结点），每个外部结点关联S中的一个串，满足从根到T中一个外部结点v的路径上标记连接产生S中关联的一个串。

下图是串{bear,bell,bid,bull,buy,sell,stock,stop}的标准Trie

存储总长为n,来自大小为d的字母表中s个串的集合S的标准Trie具有如下性质：

1. T中每个内部结点最多有d个子结点。
2. T有s个外部结点。
3. T的高度等于最长串的长度。
4. T中的结点书为O(n)。

性能：对于有n个英文字母的串来说，在内部结点中定位指针所需要花费O(d)时间，d为字母表的大小，英文为26。由于在上面的算法中内部结点指针定位使用了数组随机存储方式，因此时间复杂度降为了O(1)。但是如果是中文字，下面在实际应用中会提到。因此我们在这里还是用O(d)。 查找成功的时候恰好走了一条从根结点到叶子结点的路径。因此时间复杂度为O(d*n)。但是，当查找集合X中所有字符串两两都不共享前缀时，trie中出现最坏情况。除根之外，所有内部结点都自由一个子结点。此时的查找时间复杂度蜕化为O(d*(n^2))

中文词语的标准Trie树

由于中文的字远比英文的26个字母多的多。因此对于trie树的内部结点，不可能用一个26的数组来存储指针。如果每个结点都开辟几万个中国字的指针空间。估计内存要爆了，就连磁盘也消耗很大。

一般我们采取这样种措施：

(1) 以词语中相同的第一个字为根组成一棵树。这样的话，一个中文词汇的集合就可以构成一片Trie森林。这篇森林都存储在磁盘上。森林的root中的字和root所在磁盘的位置都记录在一张以Unicode码值排序的有序字表中。字表可以存放在内存里。

(2) 内部结点的指针用可变长数组存储。

特点：由于中文词语很少操作4个字的，因此Trie树的高度不长。查找的时间主要耗费在内部结点指针的查找。因此将这项指向字的指针按照字的Unicode码值排序，然后加载进内存以后通过二分查找能够提高效率。

标准Trie的应用举例

标准Trie的应用和优缺点

(1) 全字匹配：确定待查字串是否与集合的一个单词完全匹配。

(2) 前缀匹配：查找集合中与以s为前缀的所有串。

注意：Trie树的结构并不适合用来查找子串。这一点和前面提到的PAT Tree以及后面专门要提到的Suffix Tree的作用有很大不同。

优点： 查找效率比与集合中的每一个字符串做匹配的效率要高很多。在o(m)时间内搜索一个长度为m的字符串s是否在字典里。

缺点：标准Trie的空间利用率不高，可能存在大量结点中只有一个子结点，这样的结点绝对是一种浪费。正是这个原因，才迅速推动了下面所讲的压缩trie的开发。

压缩Trie

压缩Trie类似于标准Trie，但它能保证Trie中的每个内部结点至少有两个字结点。通过把单子结点链压缩进各条边中来执行这个规则。设T是一棵标准Trie，如果T的一个内部结点v有一个子结点且它不是根，则称为这个内部结点是内部结点是冗余的（redundant）。

如果

串{bear,bell,bid,bull,buy,sell,stock,stop}的压缩Trie

压缩Trie的性质和优势：

与标准Trie比较，压缩Trie的结点数与串的个数成正比了，而不是与串的总长度成正比。一棵存储来自大小为d的字母表中的s个串的结合T的压缩trie具有如下性质：

(1) T中的每个内部结点至少有两个子结点，至多有d个子结点。

(2) T有s个外部结点。

(3) T中的结点数为O(s)

存储空间从标准Trie的O(n)降低到压缩后的O(s)，其中n为集合T中总字符串长度，s为T中的字符串个数。

压缩Trie应用举例

假定串的集合S是S[0],S[1],...,S[s-1]的一个数组，使用三元组(i,j,k)隐式地表示存储的标记X，满足X=S[i][j,...,k]；即X是S[i]的子串，由从j到k所包含的字符组成。

后缀Trie

后缀Trie的字符串集合是由指定字符串的后缀子串构成的。比如、完整字符串"minimize"的后缀子串组成的集合S分别如下：

s1=minimize

s2=inimize

s3=nimize

s4=imize

s5=mize

s6=ize

s7=ze

s8=e

然后把这些子串的公共前缀作为内部结点构成一棵"minimize"的后缀树，如下图所示：

节省空间

因为长度为n的串X的后缀总长度为n(n+1)/2，显式存储X的所有后缀所需空间为O(n²)。而后缀Trie隐式地表示这些串所需空间为O(n)。

后缀Trie创建（图示）

当插入子串时，发现叶子结点中的关键字与子串有公共前缀，则需要将该叶子结点分裂。如上图第3到4步。否则，重新创建一个叶子结点来存放后缀，如上图第1到2步。

Suffix Trie的子串查询

如果在后缀树T中查找子串P，我们需要这样的过程：

(1) 从根结点root出发，遍历所有的根的孩子结点：N1,N2,N3....

(2) 如果所有孩子结点中的关键字的第一个字符都和P的第一个字符不匹配，则没有这个子串，查找结束。

(3) 假如N3结点的关键字K3第一个字符与P的相同，则匹配K3和P。

若 K3.length>=P.length  并且K3.subString(0,P.length-1)=P，则匹配成功，否则匹配失败。

若 K3.length<=P.length  并且K3=P.subString(0,
K3.length-1)，则将子串P1=P.subString(K3.length, P.length);
即取出P中排除K3之后的子串。然后P1以N3为根结点继续重复(1)~   (3)的步骤。直到匹配完P1的所有字符，则匹配成功。否则匹配失败。

查询效率：很显然，在上面的算法中。匹配成功正好比较了P.length次字符。而定位结点的孩子指针，和Trie情况类似，假如字母表数量为d。则查询效率为O(d*m)，实际上，d是固定常数，如果使用Hash表直接定位，则d=1.

因此，后缀树查询子串P的时间复杂度为O(m)，其中m为P的长度。但是构造后缀Trie的时间为O(dn)。

后缀Trie应用

标准Trie树只适合前缀匹配和全字匹配，并不适合后缀和子串匹配。而后缀Trie在这方面则非常合适。

参考：

①Michael T. Goodrich Roberto Tamassia Algorithm Design Foundations, Analysis, and Internet Examples

②Heart.X.Raid： http://hxraid.iteye.com/blog/618962

③Heart.X.Raid： http://hxraid.iteye.com/blog/620414