SIEVE 线性筛

今天来玩玩筛

英文：Sieve

有什么筛？

这里介绍：素数筛，欧拉筛，约数个数筛，约数和筛

为什么要用筛？

顾名思义，筛就是要漏掉没用的，留下有用的。最终筛出来1~n的数的一些信息。

为什么要用线性筛？

考虑最基础的线性筛素数，是O(n)的。

而一般的做法是：

1.对于每个m暴力枚举1~sqrt(m)看能否被整除。O(nsqrt(n))

2.对于每个找到的素数，用它去将所有它的倍数的数都干掉。O(nlogn)

但是，即使是第二种，也有一个log

这是因为一个合数会被它的所有质因子筛一次。要重复质因子个数次，除第一次之外都没用。

所以用线性筛

线性筛原理：

一个算法，使得每个合数只被它的最小质因子筛一次。

怎么保证呢？

素数线性筛：

先看代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=+;
int ps[N],cnt;
bool v[N];
int n,m;
void sieve(){
    for(int i=;i<=n;i++){
        if(v[i]==){
            ps[++cnt]=i;
        }
        for(int j=;j<=cnt;j++){
            if(i*ps[j]>n) break;
            v[i*ps[j]]=;
            if(i%ps[j]==) break;
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    sieve();
    v[]=;
    int t;
    for(int i=;i<=m;i++){
        scanf("%d",&t);
        if(v[t]) printf("No\n");
        else puts("Yes");
    }
    return ;
}

看不懂...................

解释:
对于一个质数，之前没有被标记。肯定只会有一次查到。把它记录到素数集合里去。

然后，不论这个数是否为质数，都将已有的质数从1~cnt循环一遍，把所有的i*ps[j]标记。

当i*ps>n break，可以理解。

当i%ps==0 break.？？？

这个时候，ps和i不互质了，而ps第一次整除i，所以ps就是i的最小质因数。叫他ps0

而之后，ps更大，ps*i的最小质因数就不是ps了。因为i里有ps0，这个合数就等着以后i更大了，通过ps0筛掉。

ps再大，后面的ps*i的最小质因数都不是ps，所以之前直接break掉就好。

由于每个合数只会被i*ps的形式找到一次（那一次的ps就是这个合数的最小质因子）。而内层循环每一次都对应一个将v[ps*i]=1的操作。

所以内层循环均摊O(1)，总共O(n)

完毕。

欧拉线性筛：

代码：fai(i) 1~i中和i互质的数的个数。

可以容斥推出公式：假设：i=p1^q1*p2^q2*....pn^qn

那么，fai(i)=p1^(q1-1)*(p1-1) * p2^(q2-1)*(p2-1) * ......pn^(qn-1) * (pn-1)

证明不是本篇想讲的。

void sieve(){
　　 fai[]=;
    for(int i=;i<=n;i++){
        if(v[i]==){
            fai[i]=i-;
            pri[++cnt]=i;
        }
        for(int j=;j<=cnt;j++){
            if(i*pri[j]>n) break;
            v[i*pri[j]]=;
            if(i%pri[j]==) {
                fai[i*pri[j]]=fai[i]*pri[j];break;
            }
            else{
                fai[i*pri[j]]=fai[i]*(pri[j]-);
            }
        }
    }
}

并不想从积性函数性质入手解释。

显然的，当处理到fai[i]的时候，i的值应该就知道了。i是质数就现成赋值。

考虑公式。

当i%ps==0 时，i的质因子中有ps，那么i*ps的质因子ps的次数就大于一，那么，就是fai[i]*ps了

否则，i*ps 的 ps的次数就是1，那么，ps^(1-1)*(ps-1)=(ps-1) 所以是fai[i]*(ps-1)

之后的各种操作基于线性筛的要求和特质。（即每个数只被它的最小质因子筛一次）

例题：SDOI2008 仪仗队

约数个数线性筛：

推荐：线性筛约数个数和、约数和

设x=p1^q1*p2^q2*....pn^qn

要知道公式：个数=（q1+1）*(q2+1)*...*(qn+1) 乘法原理就可以知道。

设t[i]表示i的约数个数

设e[i]表示i的最小素因子个数

①i是质数：t[i]=2,e[i]=1;

②i%pj!=0 这个时候，pj里面没有i，根据积性函数，或者乘法原理，t[i*pj]=t[i]*t[pj]=2t[i]；

而 e[i*pj]=1

③i%pj==0 这个时候，pj里面至少有一个i，i也是pj的最小质因子。

t[i*pj]=t[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2) 考虑公式，i*pj只在pj的位置上加了1，所以先除掉，再乘上去。

e[i*pj]=e[i]+1 最小素因子个数多了一个。

约数和的线性筛：

推荐：线性筛 [约数个数/约数和]

(很详细的解释）

设x=p1^q1*p2^q2*....pn^qn

首先还是要知道公式：和=(1+p1^1+...+p1^q1)*(1+p2^1+...+p2^q2)*...*(1+pn^1+...+pn^qn)

证明很简单，加数的个数显然就是约数个数，每次选择就是这个约数个数的质因数分解形式，数值就是这个约数的数值。

设t[i]表示i的约数和

设e[i]表示i的最小素因子对约数和的答案的贡献，即：(1+p1^1+...+p1^q1)（假设p1是最小质因子）

①当i是质数的时候，t[i]=i+1;e[i]=i+1;

②i%pj!=0 根据公式、积性函数性质 : t[i*pj]=t[i]*t[pj]

e[i*pj]=1+pj;

③i%pj==0

t[i*pj]=t[i]/e[i]*(pj*e[i]+1)

证明：考虑公式，i里面有pj的贡献，乘了一个pj，相当于多了一个pj^(qj+1)所以除掉后，乘上错位，再加一

而 e[i*pj]=e[i]*pj+1

就这样。代码参考上面的写就是了，没什么难度。

莫比乌斯函数筛：

知道定义就好说：

μ(i)={

0 i有平方因子

1 i的质因子个数为偶数

-1 i的质因子个数为奇数

}

根据定义直接筛就好了。

void sieve(){
    u[]=;
    for(int i=;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            u[i]=-;
            pr[++cnt]=i;
        }
        for(int j=;j<=cnt;j++){
            if(pr[j]*i>N) break;
            vis[pr[j]*i]=;
            if(i%pr[j]==) {
            u[pr[j]*i]=;break;
            }
            else u[pr[j]*i]=-u[i];
        }
    }
}

例题：bzoj2440 完全平方数