【学习笔记 边分树】【uoj400】【CTSC2018】暴力写挂

题目

描述

​ 有两棵树\(T\)和\(T'\)，节点个数都为\(n\)，根节点都为\(1\)号节点;

​ 求两两点之间

\[
\begin{align}
depth(x) + depth(y) - depth(LCA(x,y)) - depth'(LCA'(x,y))
\end{align}
\\
其中depth(x)为x和1号节点的树上距离
\\

\]

​ 的最大值；

范围

​ $1 \le n \le 366666 $ ；

题解

• 原式 = \(\frac{(dep(x) + dep(y) + dis(x,y)) }{2} -dep'(x,y)\) ;

• 枚举第二颗树的节点\(u\)，只需要查询\(u\)的各个子树之间的答案；

• 考虑查询一个对很多点的左边的式子时，可以直接用边分治；

• 询问两个子树之间的答案也可以用边分治，复杂度是\(O(n^2log \ n)\)的；

• 注意到边分树是一个二叉树的结构，直接采用线段树和并的写法合并；

• 学习了一下边分治：

  • 每次选择一条边\((u,v)\)，使得两边的子树最大\(size\)最小，不断分治；
  • 考虑直接分析复杂度：
    • 这部分理论是\(cjl\)老师在济南讲课的时候说的，网上说了这个的好少。。。。
    • 设整棵树最大的度数为\(D\)，\(u\)的子树大小为\(s\)，不妨令:\(u \ge n - s\);
    • \(u\)的子树大小最大的儿子的子树大小是\(p\)；
    • 直接有：$p \ge \frac{s-1}{D-1} $ ;
    • 同时由于\((u,v)\)是最优的决策，一定有：$n - p \ge s $；
    • 解得：$s \le \frac{n(D-1) + 1}{D} $ ；
    • 意思是每次的联通块大小是以约\(\frac{D-1}{D}\)的倍数缩小;
  • 当\(D\)是个常数时复杂度是\(log\)的，所以直接考虑将图变成一颗二叉树；

    • 

    • 黑色的点和边代表原图中的边，绿色的点和边代表虚点和虚边；
      
      -新图的大小为原图的两倍；

    • 注意对边权和点权的修改因题而异；

• 另外意外看到\(dsu \ on \ tree\) ；

  • 适用于一些删除比较麻烦的树上数据结构，不支持修改；
  • \(dfs\)并树剖，当一个节点做完了存储了子树的信息；
  • 假设我们有一个支持插入和完全清零的全局数据结构\(Ds\)，一次操作是\(O(Ds)的\);
  • 每次先做轻儿子，做完后枚举子树节点暴力清空和轻儿子子树有关的\(Ds\)信息；
  • 所以当做完\(u\)的所有儿子回溯到\(u\)时，\(Ds\)中只存在\(u\)的重儿子的子树的影响；
  • 再做一遍所有轻儿子的子树，插入到\(Ds\)中去；
  • 当一个点被遍历的时候一定是出现了一条轻链；
  • 一个点向上的轻链个数为\(O(log \ n)\)的，所以为\(O(n log \ n \ Ds)\)；
  • 套用到本题得到一个\(O(n log^2 \ n)\)的做法；

//这份代码过不了uoj的extra test ,luogu上会Ｔ一个点，暂时还没有修改；

include<bits/stdc++.h>

define mk make_pair

define fi first

define se second

define pb push_back

define inf 1e18

define ll long long

using namespace std;

const int N=366666<<2,M=22;

int n,o,hd[N],cnt,rt,mn,Rt[N],ls[N],rs[N],fa[N];

int vis[N],size,sz[N],d[N],tot,lc[NM],rc[NM];

ll dep[N],dis[M][N],val[N],mxl[NM],mxr[NM],wv[NM],ans=-inf;

struct Edge{int v,nt,w;}E[N];

typedef pair<int,int>pii;

vectorg[N];

char gc(){

static charp1,p2,s[1000000];

if(p1p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);

return(p1p2)?EOF:p1++;

}

int rd(){

int x=0,f=1;char c=gc();

while(c<'0'||c>'9'){if(c'-')f=-1;c=gc();}

while(c>='0'&&c<='9'){x=x10+c-'0';c=gc();}

return xf;

}

void upd(ll&x,ll y){if(x<y)x=y;}

void adde(int u,int v,int w){

E[o]=(Edge){v,hd[u],w};hd[u]=o++;

E[o]=(Edge){u,hd[v],w};hd[v]=o++;

}

void dfs1(int u,int F){

for(int i=0,lst=0;i<(int)g[u].size();++i){

int v=g[u][i].fi,w=g[u][i].se;

if(vF)continue;

dep[v]=dep[u]+w;dfs1(v,u);

if(!lst){adde(u,v,w);lst=u;continue;}

adde(lst,++cnt,0);adde(cnt,v,w);lst=cnt;

}

}

void get_rt(int u,int F){

sz[u]=1;

for(int i=hd[u];~i;i=E[i].nt){

int v=E[i].v;

if(vis[i]||vF)continue;

get_rt(v,u);sz[u]+=sz[v];

int t=max(size-sz[v],sz[v]);

if(mn>=t)rt=i,mn=t;

}

}

void calc(int d,int u,int F,ll now){

dis[d][u]=now;

for(int i=hd[u];~i;i=E[i].nt){

int v=E[i].v;

if(vis[i]||vF)continue;

calc(d,v,u,now+E[i].w);

}

}

int solve(int u,int F){

if(size1){fa[u]=F;return u;}

int now=++cnt;

rt=-1;mn=size;get_rt(u,0);

val[now]=E[rt].w;

vis[rt]=vis[rt^1]=1;

d[now]=d[fa[now]=F]+1;

int v1=E[rt].v,v2=E[rt^1].v;

calc(d[now],v1,0,0);

calc(d[now],v2,0,0);

size-=sz[v1];rs[now]=solve(v2,now);

size=sz[v1];ls[now]=solve(v1,now);

return now;

}

int ins(int x){

for(int u=fa[x],v=x,lst=0;u;v=u,u=fa[u]){

wv[++tot]=val[u];mxl[tot]=mxr[tot]=-inf;

if(ls[u]v)mxl[tot]=dep[x]+dis[d[u]][x],lc[tot]=lst;

else mxr[tot]=dep[x]+dis[d[u]][x],rc[tot]=lst;

lst=tot;

}

return tot;

}

int merge(int x,int y,ll&tmp){

if(!x||!y)return x+y;

upd(tmp,wv[x]+max(mxl[x]+mxr[y],mxl[y]+mxr[x]));

mxl[x]=max(mxl[x],mxl[y]);

mxr[x]=max(mxr[x],mxr[y]);

lc[x]=merge(lc[x],lc[y],tmp);

rc[x]=merge(rc[x],rc[y],tmp);

return x;

}

void dfs2(int u,int F,ll now){

Rt[u]=ins(u);

upd(ans,dep[u]-now);

ll tmp=-inf;

for(int i=hd[u];~i;i=E[i].nt){

int v=E[i].v;

if(v==F)continue;

dfs2(v,u,now+E[i].w);

Rt[u]=merge(Rt[u],Rt[v],tmp);

}

upd(ans,(tmp>>1)-now);

}

int main(){

// freopen("1.in","r",stdin);

// freopen("1.out","w",stdout);

cnt=n=rd();

memset(hd,-1,sizeof(hd));

for(int i=1,u,v,w;i<n;++i){

u=rd(),v=rd(),w=rd();

g[u].pb(mk(v,w));

g[v].pb(mk(u,w));

}

dfs1(1,0);

mxl[0]=mxr[0]=wv[0]=-inf;

size=cnt;solve(1,0);

o=0;memset(hd,-1,sizeof(hd));

for(int i=1;i<n;++i){

int u=rd(),v=rd(),w=rd();

adde(u,v,w);

}

dfs2(1,0,0);

cout<<ans<<endl;

return 0;

}