线段树属于二叉树, 其核心特征就是支持区间加法,这样就可以把任意待查询的区间$[L, R]$分解到线段树的节点上去,再把这些节点的信息合并起来从而得到区间$[L,R]$的信息。

下面证明在线段树上查询任意区间的复杂度是$O(\log{N})$的,$N$是区间总长度。

由于访问一个节点(即获得一个节点内与待查询区间$[L, R]$相关的信息)是$O(1)$的,只要证明查询一个区间要访问的节点数是$O(\log{N})$的。

如果某个节点完全包含在$[L,R]$内,则不会再向下查询,我们称这样的节点为完整节点,如果所查询的节点只有一部分在$[L,R]$内,则还要从这个节点向下查询,我们称这样的节点为部分节点

由于区间的连续性,我们有:

在线段树的每一层内

  1. 部分节点最多只有$2$个,而且与$[L,R]$交在两端。
  2. 完整节点最多有$2$个, 因为完整节点的兄弟一定不是完整节点,否则它们的父亲也是完整节点,矛盾! 换言之,完整节点的兄弟如果被访问到,则其必为部分节点, 否则此完整节点必在待查询区间$[L,R]$的一端。

所以每一层内最多访问4个节点,而线段树有$O(\log{N})$层,所以复杂度是$O(\log{N})$。


UPD:

上面的证明虽然已经十分简洁, 但我觉得还是有点故弄玄虚...

很容易看出只有部分节点才会分裂为下层的两个节点, 而部分节点最多有两个, 更直白一点, 只有两端的节点才会分裂 , (诚如某君所言, 借助形象思维)很容易就得到每层内最多访问4个节点.

这篇小文简直败笔... 逃....

数据结构1 线段树查询一个区间的O(log N) 复杂度的证明的更多相关文章

  1. codeforces 652C C. Foe Pairs(尺取法+线段树查询一个区间覆盖线段)

    题目链接: C. Foe Pairs time limit per test 1 second memory limit per test 256 megabytes input standard i ...

  2. 数据结构1 「在线段树中查询一个区间的复杂度为 $O(\log N)$」的证明

    线段树属于二叉树, 其核心特征就是支持区间加法,这样就可以把任意待查询的区间$[L, R]$分解到线段树的节点上去,再把这些节点的信息合并起来从而得到区间$[L,R]$的信息. 下面证明在线段树上查询 ...

  3. HDU 3577Fast Arrangement(线段树模板之区间增减更新 区间求和查询)

    Fast Arrangement Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others) ...

  4. POJ 3468 A Simple Problem with Integers(线段树模板之区间增减更新 区间求和查询)

    A Simple Problem with Integers Time Limit: 5000MS   Memory Limit: 131072K Total Submissions: 140120 ...

  5. 数据结构-PHP 线段树的实现

    转: 数据结构-PHP 线段树的实现 1.线段树介绍 线段树是基于区间的统计查询,线段树是一种 二叉搜索树,它将一个区间划分成一些单元区间,每个单元区间对应线段树中的一个叶结点.使用线段树可以快速的查 ...

  6. POJ.3321 Apple Tree ( DFS序 线段树 单点更新 区间求和)

    POJ.3321 Apple Tree ( DFS序 线段树 单点更新 区间求和) 题意分析 卡卡屋前有一株苹果树,每年秋天,树上长了许多苹果.卡卡很喜欢苹果.树上有N个节点,卡卡给他们编号1到N,根 ...

  7. HDU.1394 Minimum Inversion Number (线段树 单点更新 区间求和 逆序对)

    HDU.1394 Minimum Inversion Number (线段树 单点更新 区间求和 逆序对) 题意分析 给出n个数的序列,a1,a2,a3--an,ai∈[0,n-1],求环序列中逆序对 ...

  8. hdu2795(线段树单点更新&区间最值)

    题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2795 题意:有一个 h * w 的板子,要在上面贴 n 条 1 * x 的广告,在贴第 i 条广告时要 ...

  9. ACM/ICPC 2018亚洲区预选赛北京赛站网络赛 D 80 Days (线段树查询最小值)

    题目4 : 80 Days 时间限制:1000ms 单点时限:1000ms 内存限制:256MB 描述 80 Days is an interesting game based on Jules Ve ...

随机推荐

  1. 详解javascript 存储

    javascript用于存储的方式可谓是多种多样,善于应用‘存储’可以大大的提高网站的性能,博主结合日常开发常见需求做一下总结,希望对大家有用- 1.cookie 存储大小:   4kb左右,以20个 ...

  2. 眼保Guide

    1.睡前不要玩手机,特别是关灯玩手机!否则第二天早上你就会感到眼睛模糊了.长久下去就会形成近视或者近视加深. 2.早上起床半小时内不要戴眼镜,不要看手机.电脑等一切电子屏幕,甚至不要看书.这段时间是眼 ...

  3. JavaScript中的类型转换(二)

    说明: 本篇主要讨论JavaScript中各运算符对运算数进行的类型转换的影响,本文中所提到的对象类型仅指JavaScript预定义的类型和程序员自己实现的对象,不包括宿主环境定义的特殊对象(比如浏览 ...

  4. RabbitMQ集群环境搭建-4

    确保成功安装好JDK,erlang,RabbitMQ等,并且RabbitMQ能正常启动,多台电脑之间能互相ping得通. 1. 安装 erlang.rabbitmq 如: 192.168.1.1.19 ...

  5. win8/8.1 免密码登录设置

    http://www.ehow.com/how_8013338_start-windows-password.html 原文见上方链接 1,win+r调出命令输入窗口,输入 netplwiz 回车 2 ...

  6. [转]Windows 8.1删除这台电脑中视频/文档/下载等六个文件夹的方法

    Windows 8.1 已将“计算机”正式更名为“这台电脑”,当我们双击打开“这台电脑”后,也会很明显得发现另外一些变化:Windows 8.1  默认将视频.图片.文档.下载.音乐.桌面等常用文件夹 ...

  7. Congruence relation 同余关系

    https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E9%A4%98%E ...

  8. Beta项目冲刺 --第二天

    在几kb的上传速度中苦苦挣扎的程序员... 队伍:F4 成员:031302301 毕容甲 031302302 蔡逸轩 031302430 肖阳 031302418 黄彦宁 会议内容: 1.站立式会议照 ...

  9. (function($, window, document) {}) jQuery 调用解决与其他javascript库冲突的写法

    将函数包在红色字体内部,可以解决$符号与其他插件的冲突. <script type="text/javascript"> (function($, window, do ...

  10. [转]html js中name和id的区别和使用分析

    js中web页面元素的调用可以有两种识别方法:id和name 自己在用的过程中总结一下id和name的使用区别. 一,使用范围 除 BASE, HEAD, HTML, META, SCRIPT, ST ...