Uva10328 dp(递推+高精度)

题目链接：http://vjudge.net/contest/136499#problem/F

题意：给你一个硬币，抛掷n次，问出现连续至少k个正面向上的情况有多少种。

一个比较好理解的题解：原题中问出现连续至少k个H的情况，很难下手。我们可以试着将问题转化一下，设dp[i][j]表示抛掷i个硬币出现连续至多j个H的情况种数。

实际上原题中的出现连续至少k个H，即出现连续k个H，k+1个H，...n个H的并集，等价于dp[n][n]-dp[n][k-1],即从连续至多n个H的情况（其实这就是所有的抛掷情况种数）减去连续至多（k-1）个H的情况，这保证得到的所有情况一定至少有k个连续的H。

现在问题就变成了怎么求dp[i][j]。

考虑当i<=j的时候，dp[i][j]=dp[i-1][j]*2，即从上一阶段得到的抛掷序列后面增加正和反两种情况，如果出现连续的H个数大于j个，这种情况是非法的，但很显然此时不会出现这种情况。

当i>j时，如果继续用dp[i][j]=dp[i-1][j]*2就不行了。因为如果 从i-j到第i-1全部都是H ，那么这时候在第i个位置再加一个H，就会出现连续的H个数大于j个的非法状态，所以我们需要减掉 从i-j到第i-1全部都是H 的这种情况。那么这种情况有多少种呢。我们考虑该状态是如何转移而来的。试想第i-j-1个位置应该是什么呢。很明显应该是F。如果是H那就会出现非法状态了。那在第i-j-1之前的位置呢。无论H和F都可以，只要不出现连续的H个数大于j的非法状态即可，这就是dp[i-j-2][j]。

那么这样，dp[i][j]=dp[i-1][j]*2-dp[i-j-2][j]。

但这还是不够的。我们之前的推导都是基于第i-j-1个位置一定存在的前提下（i>j不能保证第i-j-1个位置一定存在），那如果第i-j-1个位置不存在，第i-j-2个位置也就不存在，上述方程也就不成立了。但这种情况很好想，此时一定是i==j+1，从第1个位置到第j个位置全部都是H，只有这一种情况，所以方程变成dp[i][j]=dp[i-1][j]*2-1。

综上：

dp[i][j]表示抛掷i个硬币出现连续至多j个H的情况种数

dp[0][j]=1

i<=j: dp[i][j]=dp[i-1][j]*2;

i>j :if(i==j+1): dp[i][j]=dp[i-1][j]*2-1;

else: dp[i][j]=dp[i-1][j]*2-dp[i-j-2][j]

ans=dp[n][n]-dp[n][k-1]

需要用到大数。

剩下的就是写代码了，一个高精度乘法，一个高精度减法。

//没办法java还没学 ==

AC代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N=+;

void mulsn(char *b,char *a,int k) //乘法 b=a*k
{
    int i,l=strlen(a),s=;
    for(i=; i<l || s; i++)
    {
        if(i<l) s+=(a[i]-'')*k;
        b[i]=s%+'';
        s/=;
    }
    b[i]=;  //  '/0'
}

void minuss(char *a,char *b) //减法 a-b
{
    int i,j,k,la=strlen(a),lb=strlen(b);
    for(i=,j=,k=; i<la || j<lb || k; i++,j++)
    {
        if(i<la) k+=a[i]-'';
        if(i<lb) k-=b[j]-'';
        if(k<) k+=, a[i+]-=;
        a[i]=(k%)+'';
        k/=;
    }
    while(i> && a[i-]=='') i--;
    a[i]=;
}

char sum[N][N][N];
char ch[]="";

int main()
{

    int n,k;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)==)
    {
        for(int i=; i<=n; i++)
        {
            sum[][i][]='';
            sum[][i][]=;
        }
        for(int i=; i<=n; i++)
        {
            for(int j=; j<=n; j++)
            {
                mulsn(sum[i][j],sum[i-][j],);
                if(i==j+) minuss(sum[i][j],ch);
                else if(i>j) minuss(sum[i][j],sum[i-j-][j]);
            }
        }
        minuss(sum[n][n],sum[n][k-]);
        int l=strlen(sum[n][n]);
        for(int i=l-; i>=; i--)
            printf("%c",sum[n][n][i]);
        puts("");
    }
    return ;
}