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Solution

好题. 一开始一直在想怎么蛇皮建图,但是发现一直蛇不出来...

正解是用类似于 dijkstra 的算法对所有点进行松弛.

对于每个元素记录两个值:

  • \(cost\) 代表它的最小花费.
  • \(ans\) 代表它的方案数.
  • 同时用一个\(f_{i,j}\)记录第\(i\)种和第\(j\)种药水可以合成第\(f_{i,j}\)这种药水.

似乎可以发现我们存合并状态的数组很像临接矩阵?

然后就可以开始蛇了...

我们对于每一瓶药水,其 \(cost\) 初值为其直接买的花费.

\(ans\) 初值为 1.

每一次选择未松弛的价格最小的药水\(u\),然后对于所有的 \(f_{u,i}\) 值进行更新.

\(1.\) 如若 \(cost_{f_{u,i}}>cost_u+cost_i\)

那么 \(cost_{f_{u,i}}=cost_u+cost_i\),同时 \(ans_{f_{u,i}}=ans_u*ans_i\)

\(2.\) 如果 \(cost_{f_{u,i}}=cost_u+cost_i\)

那么 \(ans_{f_{u,i}}=ans_{f_{u,i}}+ans_u*ans_i\)

然后最后的答案即为 \(cost[0]\)以及 \(ans[0]\).


Code

  1. #include<bits/stdc++.h>
  2. using namespace std;
  3. const int inf=192608173;
  4. const int maxn=1008;
  5. int f[maxn][maxn],n;
  6. int cost[maxn],ans[maxn];
  7. void dijkstra()
  8. {
  9. int v[1010]={0},k,minimum;
  10. for(int i=1;i<=n;i++)
  11. {
  12. minimum=inf;
  13. for(int j=0;j<n;j++)
  14. if(!v[j]&&cost[j]<minimum)
  15. {k=j;minimum=cost[j];}
  16. //类似于dij的选边进行松弛.
  17. if(minimum==inf) break;
  18. v[k]=1;
  19. for(int j=0;j<n;j++)
  20. if(v[j]&&f[j][k]>-1)
  21. if(cost[f[j][k]]>cost[j]+cost[k])
  22. {
  23. cost[f[j][k]]=cost[j]+cost[k];
  24. ans[f[j][k]]=ans[j]*ans[k];
  25. continue;
  26. }
  27. else if(cost[f[j][k]]==cost[j]+cost[k])
  28. ans[f[j][k]]+=ans[j]*ans[k];
  29. }
  30. }
  31. int main()
  32. {
  33. scanf("%d",&n);
  34. for(int i=0;i<n;i++)
  35. scanf("%d",&cost[i]);
  36. int a,b,c;
  37. memset(f,-1,sizeof(f));
  38. while(cin>>a>>b>>c)
  39. {f[a][b]=c;f[b][a]=c;}//此处建边.
  40. for(int i=0;i<n;i++)
  41. ans[i]=1;
  42. dijkstra();
  43. cout<<cost[0]<<" "<<ans[0];
  44. return 0;
  45. }

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