连续小波变换CWT（2）

如果让你说说连续小波变换最大的特点是什么？
多分辨分析肯定是标准答案。所谓多分辨分析即是指小波在不同频率段会有不同的分辨率。具体表现形式，我们回到前一篇文章的第一个图，

图一

对应的信号为

低频时（频率为4），对应彩色条纹更细，意味着更高的频率分辨率，而条纹区间大概落在【0，2.5】之间，这意味着较低的时间分辨率。同理，高频时，对应更低的频率分辨率和更高的时间分辨率。这是小波最为人知的特性，也是它被称为“数学显微镜”的原因，接下来我们一起探讨下为何小波具有这种特征

还记得上一篇文章的最后一张图么？

什么？不记得了。好吧，我再放一次

图二

前面说到，小波就是一个带通滤波器，它只允许频率和自己本身中心频率相近的信号通过。那么这个相近，到底相差多少才叫相近呢？上图，很明显可以看到，不同频率小波基函数在频域的带宽是不一样的，低频时的带宽窄，高频是的带宽要更宽一点。而带宽越窄，意味着小波这个带通滤波器，允许通过的频率越接近小波本身的中心频率，即频率分辨率越高，反之，带宽越宽，对应的频率分辨率越低

那么，问题来了，小波的带宽是和小波中心频率大小有关么？

of course not，啊，你不信啊？

这样吧，我们假设这样一系列“小波基函数”：

来看看这五个“小波基函数”在频域的长相，

图三

咦，怎么带宽都一样。图三和图二小波基函数的中心频率不是一样吗？怎么频域的带宽不一样呢？也就是带宽和中心频率的大小木有一毛钱的关系。好了，此时我们就可以排除中心频率大小对带宽的影响了。

继续探究带宽大小和什么有关，这个时候时域的图像就该商场了，当当~

图四

图五

图四和图五分别对应图二和图三那五个“小波基函数”的时域图像（只画出来实部）。好了，聪明的你可定已经明白了，嗯，我来把你的想法说出来。还是先对比下这两组（图四和图五）基函数表达式的区别：

两个表达式只在衰减函数的部分有区别，一个有尺度a，另一个没有。有什么区别么？看图四中明显看出基函数长度不一，虽然在程序中给出他们所有的时域区间均为【-4Π，4Π】，但是他们的支撑区间（非零区间）都不一样，这主要是由于衰减函数导致的。a越大，衰减越慢，支撑区间也就越大，反之，亦然。而图五所有基函数支撑区间长度是基本一致的，这是由于其衰减函数不含长度a这个参数的原因，换句话说，尺度参数a不仅可以用来生成一些列的不同中心频率的基函数，还可以控制基函数在时域的支撑区间。如果把基函数时域支撑区间叫做窗口长度，那么图三图五对应的就是窗口不变的傅里叶变换，即我们熟悉的另一种时频变换—加窗傅里叶变换（也就是短时傅里叶变换STFT），而图二和图四对应的就是窗口可变的傅里叶变换，这就是我们要讲解的小波变换。

这个时候我们就明白了，频域的带宽和时域的支撑区间有关系的，也知道他们之间是什么关系。

那么窗口长度和频率分辨率有关系么？
of course，回到第二张图

图六（其实就是图二了）

基函数在频域的带宽越窄，对应的频率分辨率就越高，那么假设有这样一个基函数他在频率是这样的：

这个时候，图中就不是一个尖峰了，而是一条竖着的完美直线。为什么说完美呢？因为那是不可能实现的。从时域变换到频域用的是傅里叶变换，而傅里叶变换是在一个【-∞，+∞】上的积分变换？请问，你能做出这样一个在整个实数域的数值积分变换吗？显然，不能。我们只能在某一个区间做傅里叶变换，而这个区间越大，那么在频域的图像就越像一条竖线，所以我们刚刚看到，频率越低，意味着尺度越大，基函数时域支撑区间越长，频域带宽越窄，即频率分辨率越高。

而时间分辨率又是怎么一回事呢我想这个应该很好解释。傅里叶变换是一个全局整体的积分，所以是没有时间分辨率的，如果，对信号进行分段的傅里叶变换，也就是加窗傅里叶变换，那么每一段时域信号便会对应一个频谱，这个时候，时间分辨率就出来了，如果加的窗口越短，定位的时间越准确，时间分辨率越高

图七

图八

图七和图八中，图七的时间分辨率肯定更高，因为它的窗口短，时间定位更准，但是正是因为其窗口短，使得其频率分辨率更低

而小波变换中，通过尺度a分别同时与中心频率和基函数支撑区间产生关系，使得时间，频率分辨率和频率产生关系。

总结下就是，尺度a是一个很重要的参数，因为它不仅仅能产生一系列中心频率不同的小波基函数（带通滤波器），还可以控制基函数在时域的支撑区间（带通滤波器的带宽），进而控制时间分辨率和频率分辨率。所以，表现出来的就是时间分辨率和频率有一定的关系。

而时间频率分辨率的矛盾在于，a越大，支撑区间的长度，越长，频率分辨率越高，时间分辨率越低，反之亦然，最后用一张图来说明这尺度，分辨率，频率这复杂的三角关系

最后：

问题一：为什么在信号处理中只用傅里叶变换和小波变换？

信号处理怎么会 只有傅里叶变换和小波呢，只不过用的多些罢了（哈哈），这个要具体问题具体分析，如果是平稳周期信号，当然是傅里叶比较好，如果是非平稳非周期信号（常见的）当然是小波比较好，所谓的变换也不过是“搞基”，基就是描述信号特征的特征向量，而像傅里叶和小波这些比较固定的基，未必是对信号的一个最好的描述。

问题二：小波变换的优缺点：

优点：

（1）它继承和发展了短时傅里叶变换的局部化思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间-频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。

（2）它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，能对时间（空间）频率的局部化分析，通过伸缩平移运算对信号（函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。

缺点：

（1）小波基的选取太难了，并且不同的小波基分析结果不同

问题三：其他几个变换干啥用呢？三者之间的关系

　　一 傅里叶级数展开与傅里叶变换

　　之所要将一个信号 f(t) 进行傅里叶级数展开 或 傅里叶变换 是因为一般 自然界信号都非常复杂，且表面上并不能直观的变现出 频率与幅值 的关系，而一个信号的大部分 有效信息 恰隐藏于 其频谱上，即其 幅频关系 和相频关系 上。通过傅里叶 级数展开 或 傅里叶变换，可将自然界的 复杂信号 分解 成 简单信号 的 叠加， 有规律的 基本信号之和 或积分形式，并且可以明确表达出 周期信号 的 离散频谱 和 非周期信号 的 连续频谱 函数。

傅里叶级数展开 是对于 周期信号 而言，如果该周期信号满足 狄利克雷 条件（在电子和通信中大部分周期信号均满足），周期信号 能展开成 一组 正交函数 的 无穷级数 之和，三角函数集 在一个周期内 是 完备的正交函数集，使用 三角函数集 的周期函数展开就是傅里叶级数展开，而 欧拉公式 是将 三角函数和复指数连接了起来，所以 傅里叶级数可展开为 三角函数 或 复指数  两种形式，此时就可画出 信号的 频谱图，便可直观的看到 频率和幅值和相位 的关系。

既然是 级数和 展开，则上述频谱图中 横轴表示n倍的角频率，是一个离散频谱图，那么由离散频谱的间隔于周期 反比关系 知当 f(t)的 周期T趋向于无穷大 时，周期信号 变成了 非周期信号，谱间 间隔 趋近于 无穷小，谱线无限的密集而变成连续频谱，则连续频谱 即为频谱密度函数，简称频谱函数，该表达式即是我们熟悉的傅里叶变换，傅里叶变换将信号的时间函数变为频率函数，则其反变换是将频率函数变为时间函数，所以傅里叶变换建立了信号的时域和频域之间的关系，而傅里叶变换的性质则揭示了信号的时域变换相应的引起频域变换的关系。

二、傅里叶变换和拉氏变换

上述的傅里叶变换必须是在一个信号满足绝对可积的条件下才成立，那么对于 不可积 的信号，我们要将它从 时域 移到 频域 上，就要将原始信号乘上一个衰减信号，将其变为绝对可积信号再做傅里叶变换，即为：

变为拉氏变换，如令δ=0则拉氏变换变成了 傅里叶变换，所以傅里叶变换是S域 仅在虚轴上取值 的拉氏变换，拉氏变换是傅里叶变换的推广，拉氏变换的收敛域 是满足绝对可积条件的δ值的范围，在收敛域内可积，拉氏变换存在，在收敛域外不可积，拉氏变换不存在。拉氏变换针对于连续时间信号，主要用于连续时间系统的分析中，对于一个线性微分方程两边同时进行拉氏变换，可将微分方程转化为简单的代数运算，可方便求出系统的传递函数，简化了运算

三、拉氏变换和Z变换

对于离散的时间信号和系统而言，我们对理想取样信号表达式两边进行拉氏变换，再以带入 可得Z变换的表达式所以从理想取样信号的拉氏变换到Z变换，就是由复变量S平面到复变量Z平面的映射变换，映射关系是，可见Z变换也可以看作是取样信号拉氏变换的一种特殊情况，此时，则Z、变换可看作是针对离散的信号和系统的拉氏变换，由可以看到时，Z是一个半径为1的单位元，当时，Z的幅值小于1，即S域上虚轴的左边对应Z域额单位园内，反之，S域上虚轴右边对应Z域的单位圆外。

四、傅里叶级数展开与Z变换

对于傅里叶级数展开而言，一般 周期信号 的 频谱 都具有 离散型，谐波性 和 收敛性，但如果一个周期信号的频谱不收敛，我们将它从时域移到频域上，就要将原始信号频谱乘上一个衰减信号将其变为收敛再做傅里叶级数展开。有

即为Z变换，如令，则Z变换就变成了傅里叶级数展开，所以傅里叶级数展开是Z域仅在单位圆上取值的Z变换，Z变换是傅里叶级数展开的推广。对于给定的序列x(n),使级数收敛的Z平面中的区域称为其收敛域。

采样定理是连续时间信号和系统与离散时间信号和系统的桥梁，以上三个变换均满足线性性质，即叠加性和齐次性。

具体三种分析应该是这样的：
傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换，傅里叶变换用于非周期信号转换。

但对于不收敛的信号，傅里叶变换无能为力，只能借助拉普拉斯变换（添加了衰减函数），主要用于计算 微分方程，而Z变换则可以算作是离散的拉普拉斯变换（主要计算差分方程）

从复平面来说，傅里叶分析注意虚数部分，拉普拉斯变换则关注全部复平面，而Z变换则是将拉普拉斯的复平面投影到Z平面，将虚轴变为一个圆环。