P2415 集合求和（一道洛谷好题鸭）（虽然可以水过，但有必研究DP）

此题坑点:

• 结果必须要用long long存，int存不下

• 如果想要像cout<<sum*pow(2,num-1)这样在输出时计算会错：
  long long在计算过程被隐式转换成了double，需要用强制类型转换转换回long long输出。

• 集合论和排列组合公式初中还没学

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题目描述

给定一个集合s（集合元素数量<=30），求出此集合所有子集元素之和。

分析

我们来看一个例子： \{1,2,3\}{1,2,3}

可以得到，它的所有非空子集为 \{1,2,3\}{1,2,3} \{1,2\}{1,2}\{2,3\}{2,3} \{1,3\}{1,3} \{1\}{1} \{2\}{2} \{3\}{3}

现在来分析每一个元素在每一个子集中出现的个数：

11出现了44次,22出现了44次,33出现了44次

我们猜测：对于一个有限集合AA，它的每一个元素在AA的所有子集中出现的个数是{2^{\operatorname{card}(A)-1}}2card(A)−1

证明：(集合论纯自学，可能格式有误, 请别在意QAQ)

设B\subseteq AB⊆A, 记n=\operatorname{card}(A)n=card(A)， ss为AA中所有元素之和

当\operatorname{card}(B)=1card(B)=1时，显然，每个元素在BB中出现11次；

当\operatorname{card}(B)=2card(B)=2时，保证一个元素必选，在剩余的n-1n−1个元素中选择11个元素，共C^1_{n-1}=n-1Cn−11​=n−1种情况，故每个元素在BB中出现C^1_{n-1}=n-1Cn−11​=n−1次；

当\operatorname{card}(B)=3card(B)=3时，保证一个元素必选，在剩余的n-1n−1个元素中选择22个元素，共C^2_{n-1}=\frac{(n-1)!}{2(n-1-2)!}=\frac{(n-1)(n-2)}{2}Cn−12​=2(n−1−2)!(n−1)!​=2(n−1)(n−2)​种情况，故每个元素在BB中出现共C^2_{n-1}=\frac{(n-1)(n-2)}{2}Cn−12​=2(n−1)(n−2)​次；

当\operatorname{card}(B)=kcard(B)=k时，保证一个元素必选，在剩余的n-1n−1个元素中选择k-1k−1个元素，共C^{k-1}_{n-1}Cn−1k−1​种情况，故每个元素在BB中出现共C^{k-1}_{n-1}Cn−1k−1​次；

那么，每个元素在AA的每一个子集中出现的个数为： \sum\limits_{i=1}^{n}C^{i-1}_{n-1}=2^{n-1}i=1∑n​Cn−1i−1​=2n−1 ①

AA的所有子集元素之和为s\times2^{n-1}s×2n−1

故代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    long long tmp,num=,sum=;
    while(cin>>tmp){
    sum+=tmp;
    num++;
}//读入集合元素个数num和元素和sum
    cout<<(long long)(sum*pow(,num-));
//必须显式地转换为long long输出
}

①: 不懂为什么\sum\limits_{i=1}^{n}C^{i-1}_{n-1}=2^{n-1}i=1∑n​Cn−1i−1​=2n−1的可以看一下数学归纳法证明：

将用到的性质公式：

• C^m_n=C^{m-1}_{n-1}+C^{m}_{n-1}Cnm​=Cn−1m−1​+Cn−1m​
• C^n_n=C^0_n=1Cnn​=Cn0​=1

\sum\limits_{i=0}^{n}C^{i}_{n}=2^{n}i=0∑n​Cni​=2n

证明：

1)当n=1n=1时：

\sum\limits_{i=0}^{n}C^{i}_{n}=C^0_1+C^1_1=2=2^1i=0∑n​Cni​=C10​+C11​=2=21

等式成立。

2)假设当n=k(k\in N_+)n=k(k∈N+​)时\sum\limits_{i=0}^{n}C^{i}_{n}=2^{n}i=0∑n​Cni​=2n 成立, 即\sum\limits_{i=0}^{k}C^{i}_{k}=2^{k}i=0∑k​Cki​=2k

那么当n=k+1n=k+1时:

\text{\ \ \ \ }     \sum\limits_{i=0}^{k+1}C^{i}_{k+1}i=0∑k+1​Ck+1i​

=C^{0}_{k+1}+C^{1}_{k+1}+C^{2}_{k+1}+...+C^{k}_{k+1}+C^{k+1}_{k+1}=Ck+10​+Ck+11​+Ck+12​+...+Ck+1k​+Ck+1k+1​

=C^{0}_{k+1}+(C^{0}_{k}+C^{1}_{k})+(C^{1}_{k}+C^{2}_{k})+...+(C^{k-1}_{k}+C^{k}_{k})+C^{k+1}_{k+1}=Ck+10​+(Ck0​+Ck1​)+(Ck1​+Ck2​)+...+(Ckk−1​+Ckk​)+Ck+1k+1​

=C^{0}_{k}+(C^{0}_{k}+C^{1}_{k})+(C^{1}_{k}+C^{2}_{k})+...+(C^{k-1}_{k}+C^{k}_{k})+C^{k}_{k}=Ck0​+(Ck0​+Ck1​)+(Ck1​+Ck2​)+...+(Ckk−1​+Ckk​)+Ckk​

=2(C^0_k+C^1_k+C^2_k+...+C^k_k)=2(Ck0​+Ck1​+Ck2​+...+Ckk​)

=2\sum\limits_{i=0}^{k}C^{i}_{k}=2i=0∑k​Cki​

=2\times2^k=2×2k

=2^{k+1}=2k+1

此时等式依然成立。假设成立。

故\sum\limits_{i=0}^{n}C^{i}_{n}=2^{n}i=0∑n​Cni​=2n

由此可以得到，\sum\limits_{i=1}^{n}C^{i-1}_{n-1}=2^{n-1}i=1∑n​Cn−1i−1​=2n−1