洛谷P2508 [HAOI2008]圆上的整点

题目描述

求一个给定的圆$ (x^2+y2=r^2) $，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

输入格式

\(r\)

输出格式

整点个数

输入输出样例

输入

4

输出

4

说明/提示

\(n\le 2000 000 000\)

思路

题目的所求可以转化为

问题的所求可以转化为\(y^{2}=r^2-x^2\)(其中\(x,y,r\)均为正整数).

即\(y^2=(r-x)(r+x)\)(其中\(r,x,y\)均为正整数)

不妨设\((r-x)=d\times u------① (r+x)=d\times v------②(\)其中\(gcd(u,v)=1\))

则有\(y^2=d^2\times u \times v\),因为\(u,v\)互质所以\(u,v\)一定是完全平方数,所以再设\(u=s^2,v=t^2\)

则有\(y^2=d^2 \times s^2 \times v^2\),即\(y=d \times s \times v\)

\(②-①\)得\(x=\dfrac{t^2-s^2}{2}\times d\)

\(②+①\)得\(2\times r=(t^2+s^2)\times d\)

然后枚举\(2\times r\)的约数\(d\),枚举算出\(s\),算出对应\(t\),若\(gcd(t,s)=1\)且\(x,t\)为整数,带入求出\(x,y\),若符合题意答案就加二(\(x,y\)满足交换律)

最后的答案为\((ans+1)\times 4\),(\(+1\)是因为坐标轴上有一点,\(\times 4\)是因为\(4\)个象限)

注意:小心乘法运算时爆\(long\) \(long\);

代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#define int long long
inline int read()
{
   int s=0,w=1;
   char ch=getchar();
   while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
   while(isdigit(ch)) s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
   return s*w;
}
inline int gcd(int a,int b)
{
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int r,ans;
inline void work(int d)
{
    for(int s=1;s*s<=r/d;++s)
    {
        int t=sqrt(r/d-s*s);
        if(gcd(s,t)==1&&s*s+t*t==r/d)
        {
            int x=(s*s-t*t)/2*d;
            int y=d*s*t;
            if(x>0&&y>0&&x*x+y*y==(r/2)*(r/2)) ans+=2;
        }
    }
}
signed main()
{
    r=read()*2;
    for(int i=1;i*i<=r;++i)
    {
        if(r%i==0)
        {
            work(i);
            if(i*i!=r) work(r/i);
        }
    }
    printf("%lld",(1+ans)*4);
    return 0;
}